This is a digital copy of a book that was prcscrvod for gcncrations on library shclvcs bcforc it was carcfully scannod by Google as pari of a projcct
to make the world's books discoverablc online.
It has survived long enough for the Copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject
to Copyright or whose legal Copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books
are our gateways to the past, representing a wealth of history, cultuie and knowledge that's often difficult to discover.
Marks, notations and other maiginalia present in the original volume will appear in this flle - a reminder of this book's long journcy from the
publisher to a library and finally to you.
Usage guidelines
Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we have taken Steps to prcvcnt abuse by commercial parties, including placing lechnical restrictions on automated querying. We also ask that you:
+ Make non-commercial use ofthefiles We designed Google Book Search for use by individuals, and we request that you use these files for personal, non-commercial purposes.
+ Refrain fivm automated querying Do not send automated queries of any sort to Google's System: If you are conducting research on machinc translation, optical character recognition or other areas where access to a laige amount of text is helpful, please contact us. We encouragc the use of public domain materials for these purposes and may be able to help.
+ Maintain attributionTht GoogXt "watermark" you see on each flle is essential for informingpcoplcabout this projcct and hclping them lind additional materials through Google Book Search. Please do not remove it.
+ Keep it legal Whatever your use, remember that you are lesponsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other countries. Whether a book is still in Copyright varies from country to country, and we can'l offer guidance on whether any speciflc use of any speciflc book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search mcans it can bc used in any manner anywhere in the world. Copyright infringement liabili^ can be quite severe.
Äbout Google Book Search
Google's mission is to organizc the world's Information and to make it univcrsally accessible and uscful. Google Book Search hclps rcadcrs discover the world's books while hclping authors and publishers rcach ncw audicnccs. You can search through the füll icxi of ihis book on the web
at|http: //books. google .com/l
IJber dieses Buch
Dies ist ein digitales Exemplar eines Buches, das seit Generationen in den Realen der Bibliotheken aufbewahrt wurde, bevor es von Google im Rahmen eines Projekts, mit dem die Bücher dieser Welt online verfugbar gemacht werden sollen, sorgfältig gescannt wurde. Das Buch hat das Uiheberrecht überdauert und kann nun öffentlich zugänglich gemacht werden. Ein öffentlich zugängliches Buch ist ein Buch, das niemals Urheberrechten unterlag oder bei dem die Schutzfrist des Urheberrechts abgelaufen ist. Ob ein Buch öffentlich zugänglich ist, kann von Land zu Land unterschiedlich sein. Öffentlich zugängliche Bücher sind unser Tor zur Vergangenheit und stellen ein geschichtliches, kulturelles und wissenschaftliches Vermögen dar, das häufig nur schwierig zu entdecken ist.
Gebrauchsspuren, Anmerkungen und andere Randbemerkungen, die im Originalband enthalten sind, finden sich auch in dieser Datei - eine Erin- nerung an die lange Reise, die das Buch vom Verleger zu einer Bibliothek und weiter zu Ihnen hinter sich gebracht hat.
Nu tzungsrichtlinien
Google ist stolz, mit Bibliotheken in Partnerschaft lieber Zusammenarbeit öffentlich zugängliches Material zu digitalisieren und einer breiten Masse zugänglich zu machen. Öffentlich zugängliche Bücher gehören der Öffentlichkeit, und wir sind nur ihre Hüter. Nie htsdesto trotz ist diese Arbeit kostspielig. Um diese Ressource weiterhin zur Verfügung stellen zu können, haben wir Schritte unternommen, um den Missbrauch durch kommerzielle Parteien zu veihindem. Dazu gehören technische Einschränkungen für automatisierte Abfragen. Wir bitten Sie um Einhaltung folgender Richtlinien:
+ Nutzung der Dateien zu nichtkommerziellen Zwecken Wir haben Google Buchsuche Tür Endanwender konzipiert und möchten, dass Sie diese Dateien nur für persönliche, nichtkommerzielle Zwecke verwenden.
+ Keine automatisierten Abfragen Senden Sie keine automatisierten Abfragen irgendwelcher Art an das Google-System. Wenn Sie Recherchen über maschinelle Übersetzung, optische Zeichenerkennung oder andere Bereiche durchführen, in denen der Zugang zu Text in großen Mengen nützlich ist, wenden Sie sich bitte an uns. Wir fördern die Nutzung des öffentlich zugänglichen Materials fürdieseZwecke und können Ihnen unter Umständen helfen.
+ Beibehaltung von Google-MarkenelementenDas "Wasserzeichen" von Google, das Sie in jeder Datei finden, ist wichtig zur Information über dieses Projekt und hilft den Anwendern weiteres Material über Google Buchsuche zu finden. Bitte entfernen Sie das Wasserzeichen nicht.
+ Bewegen Sie sich innerhalb der Legalität Unabhängig von Ihrem Verwendungszweck müssen Sie sich Ihrer Verantwortung bewusst sein, sicherzustellen, dass Ihre Nutzung legal ist. Gehen Sie nicht davon aus, dass ein Buch, das nach unserem Dafürhalten für Nutzer in den USA öffentlich zugänglich ist, auch für Nutzer in anderen Ländern öffentlich zugänglich ist. Ob ein Buch noch dem Urheberrecht unterliegt, ist von Land zu Land verschieden. Wir können keine Beratung leisten, ob eine bestimmte Nutzung eines bestimmten Buches gesetzlich zulässig ist. Gehen Sie nicht davon aus, dass das Erscheinen eines Buchs in Google Buchsuche bedeutet, dass es in jeder Form und überall auf der Welt verwendet werden kann. Eine Urheberrechtsverletzung kann schwerwiegende Folgen haben.
Über Google Buchsuche
Das Ziel von Google besteht darin, die weltweiten Informationen zu organisieren und allgemein nutzbar und zugänglich zu machen. Google Buchsuche hilft Lesern dabei, die Bücher dieser Welt zu entdecken, und unterstützt Autoren und Verleger dabei, neue Zielgruppcn zu erreichen. Den gesamten Buchtext können Sie im Internet unter|http: //books . google .coiril durchsuchen.
-A IQ'^^.iV/t
|
HARVARD COLLEGE LIBRARY |
||
|
FROH THE FARRAR FUND tu Hiuurt 0/ Un. Eiua Forrar M ■wmorv qf Ao- Aiu6an({. Joha Farm. t807-liSe |
||
I
y
> I
^,Die i/'^'^
Grundlagen der Arithmetik,
'//
Im lopcl mattaatisclie nntersnelinni
über den Begriff der Zahl
Toa
Dr. 0. Frege,
a. o. Professor an der ünirersitSt Jena.
HARVARD
BRESLAU.
Verlag von Wilhelm Koebner.
1884,
■Ar-
AP3 ?.ö lt,j5
i
i'-X
,<?/
Inhalt.
8tiU
§ 1. In der 3[atheinatik ist in neuerer Zeit ein auf der Strenge der Beweise und scbarfe Fassung der Begriffe gerichtetes Bestreben erkennbar. ]
§ 2. Die Prüfung muss sich schliesslich auch auf den Begriff
der Anzahl erstrecken. Zweck des Beweises 2
§ 3. Philosophische Beweggründe ftlr solche Untersuchung: die Streitfragen, ob die Gesetze der Zahlen analytische oder synthetische Wahrheiten, apriori oder aposteriori sind. Sinn dieser Ausdrücke 3
§ 4. Die Aufgabe dieses Buches 4
I. Meinungen einiger. Sciniftsteller fiber die Natur
der arithmetischen Sätze.
Sind die Zahlformeln beweisbar?
§ 5. Kant Terneint dies, was Hankel mit Recht paradox nennt. 5 § 6. Leibnizens Beweis von 2 -f- 2 = 4 hat eine Lttcke. Grass-
mauns Definition Ton a-f-b ist fehlerhaft 7
§ 7. 3[ills 3[einung, dass die Definitionen der einzelnen Zahlen
beobachtete Thatsachen behaupten, aus denen die Rechnungen
folgen, ist unbegründet. 9
§ 8. Zur Rechtmässigkeit dieser Definitionen ist die Beobachtung
jener Thatsachen nicht erforderlich 11
••Itt Sind die Gesetze der Arithmetik inductive
Wahrheiten?
§ 9. Hills XatiirgesetjE. Indem Mill arithmetische Wahrheiten Naturgesetze nennt, verwechselt er sie mit ihren An- wendungen 12
§ 10. Gründe dagegen, dass die Additionsgesetze idnctive Wahr- heiten sind: Ungleichartigkeit der Zahlen; wir hahen nicht schon durch die Definition eine Menge gemeinsamer Eigen- schaften der Zahlen; die Induction ist wahrscheinlich umge- kehrt auf die Arithmetik zu gründen 14
§ 11. Leibnizens .Eingehoren* 17
Sind die Gesetze der Arithmetik sjnthetisch-apriori
oder analytisch?
§ 12. Kaut. Banmaun. Lipschitz. Hankel. Die innere Anscliauung
als Erkenntuissgrund. 17
§ 18. Untersdiied von Arithmetik und Geometrie 19
§ 14. Vergleichung der Wahrheiten in Bezug auf das von ihnen
beherrschte Gebiet 20
§ 15. Ansichten von Leibniz und St. Jevons 21
§ 16. Dagegen Mills Herabsetzung des »kunstfertigen Handhabens der Sprache.*" Die Zeichen sind nicht darum leer, weil sie
nichts Wahrnehmbares bedeuten • . • 22
§17. Unzulänglichkeit der Induction. Vermuthung, dast die Zahlgesetze analytische Urtheile sind; worin dann ihr Nutzen besteht. Werthschätzung der analytischen Urtheile. . . 23
II. Meinungen einiger Schriftsteller Über den
Begriff der Anzahl.
§ 18. Nothwendigkeit den allgemeinen Begriff der Anzahl zu
untersuchen 24
§ 19. Die Definition darf nicht geometrisch sein 25
g 20. Ist die Zahl definirbar ? Hankel. Leibniz 26
Ist die Anzahl eine Eigenschaft der
äussern Dinge?
§ 21. Meinungen von M. Cantor und E. Schröder 27
§ 22. Dagegen Baumann: die äussern Dinge stellen keine strengen Einheiten dar. Die Anzahl hängt scheinbar von unserer
Auffassung ab 28
§ 23. Mills Meinung, dass die Zahl eine Eigenschaft des Aggre- gats Ton Dingen sei, ist unhaltbar 29
B«ito
§ 24. Umfas::ende Anwendbarkeit der Zahl. Hill. Locke. Leib- nizens ankörperliche metaphysische Figur. AVenn die Zahl etwas Sinnliches wäre, könnte sie nicht Unsinnlichem bei- gelegt werden 30
§ 25. Mills physikaUscher Unterschied zwischen 2 und 3. Nach Berkeley ist die Zahl nicht realiter in den Dingen, sondern durch den Geist geschaffen 3J
Ist die Zahl etwas Subjeetives?
§ 26. Lipschitzs Beschreibung der Zahlbildung passt nicht recht und kann eine Begriffsbestimmung nicht ersetzen. Die Zahl ist kein Gegenstand der Psychologie, sondern etwas Ob- jectives 33
§ 27. Die Zahl ist nicht, wie Schloemilch will, Vorstellung der
Stelle eines Objecto in einer Reihe 36
Die Anzahl als Menge. § 2S. Thomaes Namengebung 38
III. Meinungen über Einheit und Eins.
Drückt das Zahlwort «Ein" eine Eigenschaft ron
Gegenständen ans?
§ 29. Vieldeutigkeit der Ausdrücke «^Lovoi;" und „Einheit.'' £. Schröders Erklärung der Einheit als zu zählenden Ge- genstandes ist scheinbar zwecklos. Das A^jectir „Ein" enthält keine nähere Bestimmung, kann nicht als Praedicat dienen 39
§ 30. Nach den Definitionsversuchen von Leibniz und Baumana
scheint der Begriff der Einheit gänzlich zu Terschwimmen 41
§ 31. Baumanns Merkmale der Ungetheiltheit und Abgegrenztheit. Die Idee der Einheit wird uns nicht von jedem Objecte zugeführt (Locke) 41
§ 32. Doch deutet die Sprache einen Zusammenhang mit der Un- getheiltheit und Abgegrenztheit an, wobei jedoch der Sinn Terschoben wird 42
§ 33. Die Untheilbarkeit (G. Kopp) ist als Merkmal der Einheit
nicht haltbar 43
Sind die Einheiten einander gleich?
§ 34. Die Gleichheit als Grund für den Namen „Einheit^" E.Schrdder. Hobbes. Hume. Thomae. Durch Abstraction Ton den Ver- schiedenheiten der Dinge erhält man nicht den Begriff der Anzahl, und die Dinge werden dadurch nicht einander gleich 44
Btitt
§ 35. Die Verschiedenheit ist sogar nolhwendig, wenn Ton Hehrheit
die Rede sein soll. Descartes. E. Schröder. St. Jevons 46
§ 36. Die Ansicht Ton der Verschiedenheit der Einheiten stösst
auch auf Schwierigkeiten. Verschiedene Einsen bei St Jevons 46
§ 37. Lockes, Leibnizens, Hesses Erklärungen der Zahl ans der
Einheit oder Eins 48
§ 38. .,Eins*' ist Eigenname, «Einheit*' Begriffswort. Zahl kann nicht als Einheiten definirt werden. Unterschied von „nnd^' und + 48
§ 39. Die Schwierigkeit, Gleichheit nnd Unterscheidbarkeit der Einheiten zu versöhnen, wird durch die Vieldeutigkeit von „Eiiibeit" verdeckt • . • ^ 5ü
Versuche, die Schwierigkeit zu überwinden.
§ 40. Raum und Zeit als Mittel des Unterscheidens. Hobbes.
Thomae. Dagegen: Leibniz, Baumann, St. Jevons ... 5t
§41. Der Zweck wird nicht erreicht 53
§ 42. Die Stelle in einer Reihe als Mittel des Unterscheidens.
Hankels Setzen • • 54
§ 43. Schröders Abbildung der Gegenstände durch das Zeichen 1 54 § 44. Jevons Abstrahiren vom Charakter der Unterschiede mit
Festhaltung ihres VorhaQdenseins.* Die 0 und die 1 sind
Zahlen wie die andern, bie Schwierigkeit bleibt bestehen 55
Lösung der Schwierigkeit.
•
§ 45. Rückblick 58
§ 46. Die Zahlangabe enthält eine Aussage von einem Begriffe. Einwand, dass bei unverändertem Begriffe die Zahl sich
ändere 59
§ 47. Die Thatsächlichkeit der Zahlangabe erklärt sich aus der
Objectivität des Begriffes 60
§ 48. Auflösung einiger Schwierigkeiten 61
§ 49. Bestätigung bei Spinoza 62
§ 50. £. Schröders Ausführung 62
§ 51. Berichtigung derselben 63
§ 52. Bestätigung in einem deut.schen Sprachgebrauche • . • • 64 § 53. Unterschied zwischen Merkmalen und Eigenschaften eines
Begriffes. Existenz nnd Zahl 64
§ 54. Einheit kann man das Subject einer Zahlaugabe nennen. Untheilbarkeit und Abgegrenztheit der Einheit. Gleichheit und Unterscheidbarkeit 65
Stito
IV. Der Begriff der Anzahl.
Jede einzelne Zahl ist ein selbständiger Gegenstand.
§ 55. Versuch, die leibniziscben Definitionen der einzelnen Zahlen
zn ergänzen 67
§ 56. Die versuchten Definitionen sind unbrauchbar, weil sie eine
Aussage erklären, von der die Zahl nur ein Theil ist . • 67
§ 57. Die Zahlangabe ist als eine Gleichung zwischen Zahlen
anzusehen 68
§ 58. Einwand der Unvorstellbarkeit der Zahl als eines selbstän- digen Gegenstandes. Die Zahl ist überhaupt unvorstellbar 69
§ 59. £in Gegenstand ist nicht deshalb von der Untersuchung
auszuschliessen, weil er unvorstellbar ist 70
§ 60. Selbst concrete Dinge sind nicht immer vorstellbar. Man muss die Wörter im Satze betrachten, wenn man nach ihrer Bedeutung fragt • • . . 71
§61. Einwand der Unräumlichkeit der Zahlen. Nicht jeder objec-
tive Gegenstand ist räumlich • 72
Um den Begriff der Anzahl zu gewinnen, muss man den Sinn einer Zahlengleichung feststellen.
§ 61}. Wir bedürfen eines Kennzeichens fär die Zahlengleichheit 73
§ 63. Die 3Iöglichkeit |dcr eindeutigen Zuordnung als solches. Logisches Bedenken, dass die Gleichheit für diesen Fall besonders erklärt wird • • . • 73
§ 61. Belspiele'filr ein ähnliches Verfahren: die Richtung, die
Stellung einer Ebene, die Gestalt eines Dreiecks .... 74
§ 65. Versuch einer Definition. Ein zweites Bedenken: ob den
Gesetzeii der Gleichheit genügt wird 76
§ 66. Drittes Bedenken : das Kennzeichen der Gleichheit ist unzu- reichend 77
§ 67. Die Ergänzung kann nicht dadurch geschehen, dass man zum Merkmal eines Begriffes die Weise nimmt, wie ein Gegenstand eingeführt ist 78
§ 68. Die Anzahl als Umfang eines Begriffes 79
§ 69. Erläuterung 80
Ergänzung und Bewährung unserer Definition.
§ 70. Der BezieUungsbegriff 81
§71. Die Zuordnung durch eine Beziehung ....••.. 83 § 72. Die beiderseits eindeutige Beziehung. Begriff der Anzahl 81
•tito
§ 73. Die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist gleich der Anzahl, welche dem Begriffe G zukommt, wenn es eine Beziehung giebt, welche die unter F fallenden Gegenstände, den unter G fallenden beiderseits eindeutig zuordnet « . 85 § 74. Null ist die Anzahl, welche dem Begriffe „sich selbst un- gleich'* zukommt S6
§ 75. Null ist die Anzahl, welche einem Begriffe zukommt, unter den nichts fällt. Kein Gegenstand fällt unter einen Begriff,
wenn Null die diesem zukommende Anzahl ist 88
§ 76. Erklärung des Ausdrucks „n folgt in der natürlichen Zahlen- reihe unmittelbar auf m." 89
§ 77. 1 ist die Anzahl, welche dem Begriffe „gleicltO'* zukommt 90 § 78. Sätze, die mittels unserer Definitionen zu beweisen sind 91
§ 79. Definition des Folgens in einer Reihe 93
§ 80. Bemerkungen hierzu. Objectivität des Folgens .... 9j § 81. Erklärung des Ausdrucks „x gehört der mit y endenden
<p • Reihe an'*- 94
§ 83. Andeutung des Beweises, dass es kein letztes Glied der
natürlichen Zahlenreihe giebt 94
§ 83. Definition der endlichen Anzahl Keine endliche Anzahl
folgt in der natürlichen Zahlenreihe auf sich selber ... 95
Unendliche Anzahlen.
§ 84. Die Anzahl, welche dem Begrift'e „endliche Anzahl** zu- kommt ist eine unendliche • 96
§ 85. Die cantorschen unendlichen Anzahlen; „Mächtigkeit**. Ab- weichung in der Benennung 97
§ 86. Cantors Folgen in der Succession und mein Folgen in der
Reihe 98
V. Schloss.
§ 87. Die Natur der arithmetischen Gesetze 99
§ 88. Kants Unterschätzung der analytischen Urtheile .... 99 § 89. Kants Satz : „Ohne Sinnlichkeit würde uns kein Gegenstand
gegeben werden'^ Kants Verdienst um die Mathematik 101 § 90. Zum vollen Nachweis der analytischen Natur der arithme- tischen Gesetze fehlt eine lückenlose Schlusskette • . . 102 § 91. Abhilfe dieses Mangels ist durch meine Begriffsschrift möglich 108
Andere Zahlen.
§ 92. Sinn der Frage nach der Möglichkeit der Zahlen nach Hankel 104 § 93. Die Zahlen sind weder räumlich ausser uns noch subjectiv 105
S«iU
g 94. Die Widerspniclislosigkeit eiues Begriffes verbftrgt nicht, dasa
etwas unter ibn falle, nnd bedarf selbst des Beweises . . 105 § 95. Kan darf nicht obue Weiteres (c — b) als ein Zeichen auaehn,
das die Snbtnuaionsanfgabe löst 106
§ 96. Aach der ITathematiker kann nicht wlllknbrlich etwas schaffen 107 § 97. Begriffe sind von Gegenständen zu unterscheiden • • . lOtt
§ 98. Hankels Rrklämng der Addition lOii
§ 99. Mangelhaftigkeit der formalen Theorie 109
§ 100. Versuch, c«>niplexe Zahlen dadnrch nachzuweisen, dass die Bedeutung der Multiplication in besonderer Weise erweitert
wird 110
§ 101. Die Möglichkeit eines solchen Nachweises Ist itlr die Kraft
eines Beweises uiclt gleichgiltig Jll
§ 102. Die blosse Forderung, es solle eine Operation ausfahrbar
sein, ist nicht ihre ErtttUung 111
§ 103. Kossaks Erklärung der complexen Zahlen ist nur eine An- weisung zur Definition und vermeidet nicht die Einmischung von Fremdartigem. Die geometrische Darstellung • • . ir2 § 104. Es kommt darauf an, den Sinn eines Wiedererkennungs-
urtheils filr die neuen Zahlen festzusetzen 114
§105. Der Reiz der Arithmetik liegt in ihrem Vemunftcbarakter 115 §106-109. Rückblick 115-119
Einleitung.
Auf die Frage, was die Zahl Eins sei, oder was das Zeichen 1 bedeute, wird man meistens die Antwort erhalten : nun, ein Ding. Und wenn man dann darauf aufmerksam macht, dass der Satz
„die Zahl Eins ist ein Ding'' keine Definition ist, weil auf der einen Seite der bestimmte Artikel, auf der andern der unbestimmte steht, dass er nur besagt, die Zaiil Eins gehöre zu den Dingen, aber nicht, welches Ding sie sei, so wird man vielleicht aufgefordert, sich irgendein Ding zu wählen, das man Eins nennen wolle. Wenn aber Jeder das Recht hätte, unter* diesem Namen zu verstehen, was er will, so wQrde derselbe Satz von der Eins für Verschiedene Verschiedenes bedeuten; es gäbe keinen gemeinsamen Inhalt solcher Sätze. Einige lehnen vielleicht die Frage mit dem Hinweise darauf ab, dass auch die Be- deutung des Buchstaben a in der Arithmetik nicht angegeben werden könne; und wenn man sage: a bedeutet eine Zahl, so könne hierin derselbe Fehler gefunden weinlen wie in der Definition: Eins ist ein Ding. Nun ist die Ablehnung der Frage in Bezug auf a ganz gerechtfertigt: es bedeutet keine bestimmte, angebbare Zahl, sondern dient dazu, die Allgemeinheit von Sätzen auszudrücken. Wenn man für a ina + a— a=:a eine beliebige aber überall dieselbe Zahl
n
setzt, so erhalt man immer eine wahre Gleichung. In diesem Sinne wird der Buchstabe a gebraucht. Aber bei der Eins liegt die Sache doch wesentlich anders. Können wir in der Gleichung 1 + 1 = 2 für 1 beidemal denselben Gegenstand, etwa den Mond setzen? Vielmehr scheint e.^ dass wir iiir ^ die erste 1 etwas Anderes wie fTir die zweite setzen mBsscn. * AVoran liegt es, dass hier grade das gescheiien muss, was in jenem Falle ein Fehler wäi*e? Die Arithmetik kommt mit dem Buchstaben a allein nicht aus, sondern muss noch andere b, c u. s. w. gebmuchen, um Beziehungen zwis^hon verschiedenen Zahlen allgemein auszudrücken. So rollte man denken, könnte auch das Zeichen 1 nicht gen Igen, wenn es in ähnlicher Weise dazu diente, den Sätzen eire Allgemeinheit zu verleihen. Aber erscheint nicht die Zahl Eins als bestimmter Gegenstand mit angebbaren Eigenschaften, z. B. mit sich selbst multiplicirt unverändert zu bh iben ? Tn diesem Sinne kann man von a keine Eigenschaften an;;eben; denn was von a ausgesagt wird, ist eine gemeinsame Eigen- schaft der Zahlen, wälirend 1^ = 1 weder vom Monde etw;us aussagt, noch von der Sonne, noch von der Sahai*a, noch vom Pic von Teneriffa; denn was könnte der Sinn ein«^r solchen Aussage sein?
Auf solche Fragen werden wohl auch die meisten Mathematiker keine genügende Antwoit bereit haben. Ist es nun nicht für die Wissenschalt besch«1mend, so im Un- klaren über ihren nächstliegenden und scheinbar so einfachen Gegenstand zu sein? Um so weniger wird man sagen könn4n, was Zahl sei. Wenn ein Begiiff, der einer gi^ossen Wissen- schaft zu (jirunde liegt, Schwierigkeiten darbietet, so ist es doch wohl eine unabweisbare Aufgabe, ihn genauer zu unter- suchen und diese Schwierigkeiten zu überwinden, besonders da es schwer gelingen möchte, über die negativen, ge- brochenen, complexen Zahlen zu voller Klarheit zu kommen, solange noch die Einsicht in die Grundlage des ganzen Baues der Arithmetik mangelhaft ist
i
Einleitung.
Auf die Frage, was die Zahl Eins sei, oder was das Zeichen 1 bedeute, wird man meistens die Antwort erhalten : nun, ein Ding. Und wenn man dann darauf aufmerksam macht, dass der Satz
„die Zahl Eins ist ein Ding'' keine Definition ist, weil auf der einen Seite der bestimmte Artikel, auf der andern der unbestimmte steht, dass er nur besagt, die Zahl Eins gehöre zu den Dingen, aber nicht, welches Ding sie sei, so wird man vielleicht aufgefordert, sich irgendein Ding zu wählen, das man Eins nennen wolle. Wenn aber Jeder das Recht hätte, unter- diesem Namen zu verstehen, was er will, so würde derselbe Satz von der Eins fttr Verschiedene Verschiedenes bedeuten; es gäbe keinen gemeinsamen Inhalt solcher Sätze. Einige lehnen vielleicht die Frage mit dem Hinweise darauf ab, dass auch die Be- deutung des Buchstaben a in der Arithmetik nicht angegeben werden könne; und wenn man sage: a bedeutet eine Zahl, so könne hierin derselbe Fehler gefunden werden wie in der Definition: Eins ist ein Ding. Nun ist die Ablehnung der Frage in Bezug auf a ganz gerechtfertigt: es bedeutet keine bestimmte, angebbare Zahl, sondeiii dient dazu, die Allgemeinheit von Sätzen auszudrücken. Wenn man für a ina + a— a=:a eine beliebige aber überall dieselbe Zahl
n
setzt, so erhalt man immer eine wahre Gleichung. In dienern Sinne wird der Buchstabe a gebraucht. Aber bei der Eins liegt die Sache doch wesentlich anders. Können wir in der Gleichung 1 + 1 = 2 ftlr 1 beidemal denselben Gegenstand, etwa den Mond setzen? Vielmehr scheint e.% dass wir iiir ^ die erste 1 etwas Anderes wie fßr die zweite setzen mBsscn. * AVoran liegt es, dass hier grade das gescheiien muss, was in jenem Falle ein Fehler wäi*e? Die Arithmetik kommt mit dem Buchstaben a allein nicht aus, sondern muss noch andere b, c u. s. w. gebmuchen, um Beziehungen zwiscbt^n verschiedenen Zahlen allgemein auszudrücken. So rollte man denken, könnte auch das Zeichen 1 nicht genügen, wenn es in ähnlicher Weise dazu diente, den Sätzen eire Allgemeinheit zu verleihen. Aber erscheint nicht die Zahl Eins als bestimmter Gegenstand mit angebbaren Eigenschaften, z. B. mit sich selbst multiplicirt unverändert zu bhiben? Tn diesem Sinne kann man von a keine Eigenschaften an;;eben; denn was von a ausgesagt wird, ist eine gemeinsame Eigen- schaft der Zahlen, wälirend 1 * = 1 weder vom Monde etw;us aussagt, noch von der Sonne, noch von der Sahai^, noch vom Pic von Teneriffa; denn was könnte der Sinn ein«'r solchen Aussage sein?
Auf solche Fragen werden wohl auch die meisten Mathematiker keine genügende Antwoit bereit haben. Ist es nun nicht für die Wissenschalt beschämend, so im Un- klaren über ihren nächstliegenden und scheinbar so einfachen Gegenstand zu sein? Um so weniger wird man sagen könn« n, was Zahl sei. Wenn ein Begiiff, der einer grossen Wissen- schaft zu (gründe liegt, Schwierigkeiten darbietet, so ist es doch wohl eine unabweisbare Aufgabe, ihn genauer zu unter- suchen und diese Schwierigkeiten zu überwinden, besonders da es schwer gelingen möchte, über die negativen, ge- brochenen, complexen Zahlen zu voller Klarheit zu kommen, solange noch die Einsicht in die Grundlage des ganzen Baues der Arithmetik mangelhaft ist
Jl
m
Viele werden das freilich uicht der Mühe werth achten. Dieser Begrilf ist ja, wie sie meinen, in den Elementar- bttchern hinr(*icbend behandelt und damit fiir das ganze LeVen abgetb.in. Wer glaubt denn fiber eine so einfache Sache noch etwas lernen zu können! Fflr so frei von jeder Schwierigkeit hält man den Begriff der positiven ganzen Zahl, dass er fär Kinder wissenschaftlich erschöpfend be- handelt werden könne, und dass Jeder ohne weiteres Nach- denken und ohne Bekanntschaft mit dem, was Andere ge- flacht haben, genau von ihm Bescheid wisse. So fehlt denn 1 ielfsich jene erste Vorbedingung des Lernens: das Wissen d^s Nichtwissens. Die Folge ist, dass man sich noch immer mit (iner rohc.n Auffassung begnügt, obwohl schon Herbart*) eir.e richtigere gelehrt hat. Es ist betrübend und entmuthigend, dars in dieser Weise eine Erkenntniss immer wieder verloren zu gehen dr(»ht, die schon errungen war, dass so manche Arlxit vergf -blich zu werden scheint, weil man im ein- gebildeten Reichthume nicht nöthig zu haben glaubt, sich ihre Früchte anzueignen. Auch diese Arbeit, sehe ich wohl, ist solcher Gefahr ausgesetzt. Jene Roheit der Auffassung tritt mir entgegen, wenn das Rechnen aggregatives, mecha- nisches Denken genannt wird*'*'). Ich bezweifle, dass es ein solches Denktm überhaupt giebt. Aggregatives Vorstellen könnte man schon eher gelten lasisen; aber es ist für das Reebnen ohne Bedeutung. Das Denken ist im AVesentlichen^f^ itber<ill dassellie: es kommen nicht je nach dem Gegenstande verschiedene Arten von Denkgesetzen in Betracht. Die Untei schiede bestehen nur in der grösseren oder geringeren Reinheit und Unabhängigkeit von psychologischen Einflüssen untl von äussern Hilfen des Denkens wie Sprache, Zahl-
^J lUlmmtliclte Werke, herausgegeb« von Hartenstein, Bd. X, 1 Thl. Umriis pädagogischer Vorlesungen § 252, Anm. 2: «Zwei heisst nicht £wei Din j^e, sondi rn Verdoppelung* u. s. w.
^'*') K. Fischer, System der Logik und Metaphysik oder Wissen- schalttilcbre, 2« Aiifl. § 91.
IV
zeichen nnd dgl., dann etwa noch in der Feinheit des Baues der Begriffe; aber grade in dieser Rficksicht möchte die Mathematik von keiner AViss^enschaft, selbst der Philosophie nicht, fibertroflfen werden.
Man wii d aus dieser Seh. ift ei-sehen können, dass auch ein scheinbar eigenthümlich mathematischer Schluss wie der Ton n auf n + 1 auf den allgemeinen logischen Gesetzen beruht, dass es besondrer Gesetze des aggregativen Denkens nicht bedarf. Man kann freilich die Zahlzeichen mechanisch gebrauchen, wie man i^apageimässig sprechen kann; aber Denken möchte das doch kaum zu nennen sein. Es ist nur möglich, nachdem durch wirkliches Denken die mathematische Zeichensprache i^o ausgebildet ist, dass sie, wie man sagt, für einen denkt. Dies beweist nicht, dass die Zahlen in einer besonders mechanischen Weise, etwa wie Sandhaufen aus Quarzkömern gebildet sind. Es liegt, denke ich, im Interesse der Mathematiker einer solchen Ansicht entgegen^ zutreten, welche einen hauptsächlichen Gegenstand ihrer Wissenschaft und damit diese selbst herabzusetzen geeignet i^t. Aber auch bei Mathematikern findet man ganz ähnliche Ausspräche. Im Gegentheil wird man dem Zahlbegrifie einen feineren Bau zuerkennen müssen als den meisten Begriffen andrer AVissenschaften, obwohl er noch einer der einfachsten arithmetischen ist
Um nun jenen Wahn zu widerlegen, dass in Bezug auf die positiven ganzen Zahlen eigentlich gar keine Schwierig- keiten obwalten, sondern allgemeine Uebereinstimmung herrsche, schien es mir gut, einige Meinungen von Philo- sophen und Mathematikern über die hier in Betracht kom- menden Fragen zu besprechen. Man wird sehn, wie wenig von Einklang zu finden ist, sodass geradezu entgegengesetzte Ausspräche vorkommen. Die Einen sagen z. B. : „die Ein- heiten sind einander gleich^', die Andern halten sie für ver- schieden, und beide haben Grande für ihre Behauptung, die sich nicht kurzer Hand abweisen lassen. Hierdurch suche
7
ich das Bedftrfniss nach einer genaueren Untersachung zu wecken. Zugleich will ich durch die voraasgeschickte Bei- leuchtung der von Andeiii ausgesprochenen Ansichten meiner eignen Auffassung den Boden ebnen, damit man sich vorweg überzeuge, dass jene andern AVege nicht zum Ziele f&hren, und dass meine Meinung nicht eine von vielen gleichbe- rechtigten ist; und so hoffe ich die Frage wenigstens in der Hauptsache eudgiltig zu entscheiden«
Freilich sind meine Ausfuhrungen hierdurch wohl philo- sophischer geworden, als vielen Mathematikern augemessen scheinen mag; aber eine gründliche Untersuchung des Zahl* begiiffes wird immer etwas philosophisch ausfallen müssen. Diese Aufgabe ist der Mathematik und Philosophie gemeinsam. Wenn das Zusammenarbeiten dieser AVissenscbaften trotz mancher Anläufe von beiden Seiten nicht ein so g€i- deihliches ist, wie es zu wünschen und wohl auch möglich wäre, so liegt das, wie mir scheint, an dem Ueberwiegen /c psychologischer Betrachtungsweisen in der Philosophie, die selbst in die Logik eindringen. Mit dieser Richtung hat die Mathematik gar keine Berühiningspunkte, und daraus erklärt sich leicht die Abneigung vieler Mathematiker gegen philosophische Betrachtungen. Wenn z. B. S tricker *j die Vorstellungen der Zahlen motorisch, von Muskelgefühlen abhängig nennt, so kann der Mathematiker seine Zahlen darin nicht wiedererkennen und weiss mit einem solchen Satze nichts anzufangen. Eine Arithmetik, die auf Mni^el- gefühle gegründet wäre, würde gewiss recht gefühlvoll, aber auch ebenso verschwommen ausfallen wie diese Onindlage. V Nein, mit Gefühlen hat die Arithmetik gar nichts zu schaffen. .Ebensowenig mit Innern Bildern, die aus Spuren firfiherer » Sinneseindi'ücke zusammengeflossen sind.N'Das Schwankende und Unbestimmte, welches alle diese tirestaltungen haben, steht im starken Gegensatze zu der Bestimmtheit und
^) Studien über ABsociation der Vorsteliungen. Wien 1883«
VI
Festigkeit der matbematischen Begriffe und Gegenstände. ^ Es mag ja von Nutzen sein, die Vorstellungen und deren Wechsel zu betrachten, die beim mathematischen Denken vorkommen; aber die Psychologie bilde sich nicht ein, zur Begi*ündung der Arilhmetik irgendetwas beitragen zu können. Dem Mathematiker als solchem sind diese innern Bilder, ihre Entstehung und Veränderung gleichgiltig. Stricker sagt selbst, dass er sich beim Worte „Hundert" weiter nichts vorstellt als das Zeichen 100. Andere mögen sich den Buchstaben C oder sonst etwas vorstellen; geht daraus nicht hervor, dass diese innern Bilder in unserm Falle fttr das Wesen der Sache vollkommen gleichgiltig und zufällig sind, ebenso zufällig wie eine schwarze Tafel und ein Stack Kreide, dass sie überhaupt nicht Vorstellungen der Zahl Hundert zu heissen verdienen? Man sehe doch nicht das Wesen der Sache in solchen Vorstellungen! Man nehme \ nicht die Beschreibung, wie eine Vorstellung entsteht, ftirj eine Definition und nicht die Angabe der seelischen und ; leiblichen Bedingungen dafür, dass uns ein Satz zum Be- ,
wusstsein kommt, fttr einen Beweis und verwechsele das Gedachtwerden eines Satzes nicht mit seiner Wahrheit! Man muss, wie es scheint, daran erinnern, dass ein Satz ebensowenig aufhört, wahr zu sein, wenn ich nicht mehr an ihn denke, wie die Sonne vernichtet wird, wenn ich die Augen schliesse. Sonst kommen wir noch dahin, dass man beim Beweise des pythagoräischen Lehrsatzes es nöthig findet, des Phosphoi*gehaltes unseres Gehirnes zu gedenken, und dass ein Astronom sich scheut, seine Schlüsse auf längst vergangene Zeiten zu erstrecken, damit man ihm nicht ein- wende: „du rechnest da 2.2 == 4; aber die Zahlvorstellung hat ja eine Entwickelung, eine Geschichte! Man kann zweifeln, ob sie damals schon so weit war. Woher weisst dUy dass in jener Vergangenheit dieser Satz schon bestand? Könnten die damals lebenden AVesen nicht den Satz 2.2 = 6 gehabt haben, aus dem sich erst durch natürliche Züchtung
y
J
vn
im Kampf ums Dasein der Satz 2 . 2 ::^ 4 entwickelt hat^ der seinerseits vielleicht dazu bestimmt ist, auf demselben Wege sich zu 2.2 = 3 fortzubilden?'' Est modus in rebus, sunt certi denique fines! Die geschichtliche Bt^lrachtungs- weise, die das Werden der Dinge zu belauschen und aus dem Werden ihr Wesen zu erkennen sucht, hat gewiss eine grosse Berechtigung; aber sie hat auch ihre Grenzen. Wenn in dem beständigen Flusse aller Dinge nichts Festes, Ewiges leharrte, würde die Erkennbarkeit der Welt aufhören und
^ Alles in VerwiiTung stützen. Man denkt sich, wie es scheint, dass die Begriffe in der einzelnen Seele so entstehen, wie die Blätter an den Bäumen und meint ihr Wesen da- durch erkennen zu können, dass man ihrer Entstehung nach- forscht und sie aus der Natur der menschlichen Seele psy- chologisch zu erklären sucht. Aber diese Auffassung zieht Alles ins Subjective und hebt, bis ans Ende verfolgt, die
jl Wahrheit auf. Was man beschichte der Begriffe nennt,! ist wohl entweder eine Geschichte unserer Erkenntniss der y Begriffe oder der Bedeutungen der Wörter. Durch grosse geisti;^e Arbeit, die Jahrhunderte hindurch andauern kann, gelingt es oft erst, einen Begriff in seiner Reinheit zu er- kennen, ihn ans den fremden Umhüllungen herauszuschälen, die iha dem geistigen Auge verbargen. Was soll man nun dazu i^agen, wenn jemand, statt diese Arbeit, wo sie noch nicht vollendet scheint, fortzusetzen, sie für nichts achtet, in die Kinderstube geht oder sich in ältesten erdenkbaren Ent Wickelungsstufen der Menschheit zurQck versetzt, um dort wie J. St. Mill etwa eine Pfefferkuchen- oder Kieselstein- arithmetik zu entdecken! Es fehlt nur noch, dem Wohl- geschmacke des Kuchens eine besondere Bedeutung für den Zahlbegriff zuzuschreiben. Dies ist doch das grade Gegen- theil eines vernünftigen Verfahrens und jedenfalls so unmathe- matisch wie möglich. Kein Wunder, dass die Mathematiker nichts davon wissen wollen! Statt eine besondere Reinheit der Begriffe da zu finden, wo man ihrer Quelle nahe zu sein
vm
glanbt, sieht man Alles verscbwommen nnd ungesondert wie durch einen Nebel. Es ist so, als ob jemand, um Amerika kennen zu lernen, sich in die Lage des Columbus zurück- versetzen wollte, als er den ersten zweifelhaften Schimmer seines vermeintlichen Indiens erblickte. Freilich beweist ein solcher Vergleich nichts; aber er verdeutlicht hoffentlich meine Meinung. Es kann ja sein, dass die Geschichte der Entdeckungen in vielen Fällen als Vorbereitung für weitere Forschungen nützlich ist; aber sie darf nicht an deren Stelle treten wollen.
Dem Mathematiker gegenüber, wäre eine Bekämpfung solcher Auffassungen wohl kaum nothig gewesen; aber da ich auch für die Philosophen die behandelten Streitfragen möglichst zum Austrage bringen wollte, war ich genöthigt, mich auf die Psychologie ein wenig einzulassen, wenn auch nur, um ihren Einbruch in die Mathematik zurückzuweisen.
Uebrigens kommen auch in mathematischen Lehrbüchern psychologische Wendungen vor. Wenn man eine Verpflichtung fühlt, eine Definition zu geben, ohne es zu können, so will man wenigstens die Weise beschreiben, wie man zu dem betreffenden Gegenstande oder Begriffe kommt. Man erkennt diesen Fall leicht daran, dass im weitern Verlaufe nie mehr auf eine solche Erklärung zurückgegi^iffen wird. Für Lehr- zwecke ist eine Einführung auf die Sache auch ganz am Platze; nur sollte man sie von einer Definition immer deutlich unterscheiden. Dass auch Mathematiker Beweisgründe mit iunern oder äussern Bedingungen der Führung eines Beweises verwechseln können, dafür liefert E. Schröder'*') ein ergötz- liches Beispiel, indem er unter der Ueberschrift: „Einziges Axiom*" Folgendes darbietet: „Das gedachte Princip könnte wohl das Axiom der Inhärenz der Zeichen genannt werden. Es giebt uns die Gewissheit, dass bei allen unsem Ent- wicklungen und Scblussfolgerungen die Zeichen in unserer
*; Lehrbach der Arithmetik und Algebra.
ErinneruDg — noch fester aber am Papiere — haften" u. s. w. So sehr sich nun die Mathematik jede Beihilfe vonseiten der Psychologie verbitten muss, so wenig kann sie ihren engen Zusammenhang mit der Logik verleugnen. Ja, ich stimme der Ansicht derjenigen bei, die eine scharfe Trennung für unthunlich halten. iSoviel wird man zugeben, dass jede Untersuchung über die Bündigkeit einer Beweisführung oder die Berechtigung einer Definition logisch sein muss. Solche Fragen sind aber gar nicht von der Mathematik abzuweisen, da nur durch ihre Beantwortung die nölhige Sicherheit erreichbar ist
Auch in dieser Richtung gehe ich freilich etwas über das liebliche hinaus. Die meisten Mathematiker sind bei Untersuchungen ähnlicher Art zufrieden, dem unmittelbaren Bedürfnisse genügt zu haben. Wenn sich eine Definition willig zu den Beweisen hergiebt, wenn man nirgends auf Widersprüche stösst, wenn sich Zusammenhänge zwischen scheinbar entlegnen Sachen erkennen lassen und wenn sich dadurch eine höhere Ordnung und Gesetzmässigkeit ergiebt, so pflegt man die Definition für genügend gesichert zu halten und fragt wenig nach ihrer logischen Rechtfertigung. Dies Verfahren bat jedenfalls das Gute, dass man nicht leicht das Ziel gänzlich verfehlt. Auch ich meine, dass die Defi- nitionen ^iich durch ihre Fruchtbarkeit bewähren müssen, durch die Möglichkeit, Beweise mit ihnen zu führen. Aber es ist wohl zu beachten, dass die Strenge der Beweisführung ■ ,i \ ein Schein bleibt, mag auch die Schlusskette lückenlos sein, '.^^ wenn die Definitionen nur nachträglich dadurch gerechtfertigt I werden, dass man auf keinen Widerspruch gestossen ist So liat man im Grunde immer nur eine erfahrungsmässige Sicherheit erlangt und muss eigentlich darauf gefasst sein, zuletzt doch noch einen Widerspruch anzutreffen, der das ganze Gebäude zum Einstürze bringt. Darum glaubte ich etwas weiter auf die allgemeinen logischen Grundlagen zurückgehn zu müssen, als vielleicht von den meisten Mathe- matikern füi* nöthig gehalten wird.
Als Grundsätze habe ich in dieser Untersuchung fol- gende festgehalten:
es ist das Ps3*chologische vun dem Logischen, das Sub« / jective von dem Objectiven scharf zu trennen;
nach der Bedeutung der Wörter rauss im Satzzusammen- 7^ hange, nicht in ihrer Vereinzelung gefragt werden;
der Unterschied zwischen Begiiff nnd Gegenstand ist 7 im Auge zu behalten.
Um das Erste zu befolgen, habe ich das Wort „Vor- stell ung*' immer im psychologischen Sinne gebraucht und die Vorstellungen von den Begriflfen und Gegenständen unter- schieden. Wenn man den zweiten Grundsatz unbeachtet lässt, ist man fast genöthigt, als Bedeutung der Wörter innere Bilder oder Thaten der einzelnen iSeele zu nehmen und damit auch gegen den ersten zu Verstössen. AVas den; dritten Punkt betrifft, so ist es nur Schein, wenn man meint,; ^Jj einen Begriff zum Gegenstaude machen zu können, ohne ihn zu verändern. Von hieraus ergiebt sich die Unhaltbarkeitj einer verbreiteten formalen Theorie der Brüche, negativen Zahlen u. s. w. Wie ich die Verbesserung denke, kann ich in dieser Scljrift nur andeuten. Es wird in allen diesen Fällen wie bei den positiven ganzen Zahlen darauf ankommen, den Sinn einer Gleichung festzustellen.
Meine Eigebnisse werden, denke ich, wenigstens in der Hauptsache die Zustimmung der Mathematiker finden, welche sich die Mühe nehmen, meine Gründe in Betracht zu ziehn. Sie scheinen mir in der Luft zu liegen und einzeln sind sie vielleicht schon alle wenigstens annähernd ausge- sprochen worden; aber in diesem Zusammenhange mit ein- ander möchten sie doch neu sein. Ich habe mich manchmal gewundert, dass Darstellungen, die in Einem Punkte meiner Auffassung so nahe kommen, in andern so stark abweichen.
Die Aufnahme bei den Plülosophen wird je nach dem Standpimkte verschieden sein, am schlechtesten wohl bei
XI
jenen Empirikern, die als ursprüngliche Schluss weise nur die Induction anerkennen wollen und auch diese nicht einmal als Schlussweise, sondern als Gewöhnung. Vielleicht unter* zieht Einer odei"* der Andere bei dieser Gelegenheit die Grundlagen seiner Erkeuntnisstheorie einer erneueten Prüfung. Denen y welche etwa meine Definitionen für unnatürlich erklären möchten, gehe ich zu bedenken, dass die Frage hier nicht ist, ob natürlich, sondern ob den Kern der Sache treffend und logisch einwurfsfreL
Ich gebe mich der Hoffnung hin, dass bei vorurtheils- loser Prüfung auch die Philosophen einiges Brauchbare in dieser Schrift finden werden.
^.. . _
§ 1. Nachdem die Matheinatik sicli eine Zeit lang von dei' euklidischen Strenge entfernt Iiatte, kehrt sie jetzt za ilir zuriick und strebt gar über sie hinaus. In der Arith- metik war sch(m infolge des indisclien Ursprungs vieler ihrer Verfalirungsweisen und Begrift'e eine laxere Denkweise her- gebiacht als in der von den Griechen vornehmlich ausge- bildeten Geometrie. Sie wurde durch die Erfindung der hiihern Analysis nur gefordert; denn einerseits stellten sich einer strengen Behandlung dieser Lehren erhebliche, fast un- besiegliche Schwierigkeiten entgegen, deren Ueberwindung andrerseits die darauf verwendeten Anstrengungen wenig lohnen zu wollen schien. Doch hat die weitere Entwickelung immer deutlicher gelehrt, dass in der Mathematik eine blos moralische LVbeizeugung, gestützt auf viele erfolgreiche Anwendungen, nicht genügt. Für Vieles wii-d jetzt ein Beweis gefordert, was früher tur selbstverständlich galt. Die (j lenzen der Giltigkeit sind erst dadurch in manchen Fällen festgestellt worden. Die Begrilfe der Function, der Stetig- keit, der Grenze, des Unendlichen haben sich einer schäiferen Bestimmung bedürftig gezeigt. Das Negative und die Irra- tionalzahl, welche längst in die Wissenschaft aufgenommen waren, haben sich einer genaueren Prüfung ihrei* Berechtigung unterwerfen müssen.
So zeigt sich überall das Bestreben, streng zu beweisen,
die Giltigkeitsgrenzen genau zu ziehen und, um dies zu
können, die Begrilfe scharf zu fassen.
1
mtmß
§ 2. Dieser Weg nniss im weitern Verfolge auf den Begriff der Anzalil und auf die von positiven ganzen Zahlen geltenden einfachsten Sätze filhren, welche die Grundlage der ganzen Arithmetik bilden. Freilich sind Znhlformeln wie 5 -j- 7 = 12 und fJesetze wie das der Associativität bei der Addition durch die unzähligen Anwendungen, die tag- tjiglieh von ihnen gemacht werden, so vielfach bestätigt, dass es fast lächerlich erscheinen kann, sie duich das Verlangen nach einem Beweise in Zweifel ziehen zu wollen. Aber es liegt im Wesen der Mathematik begründet, dass sie überall, wo ein Beweis möglich ist, ihn der Bewährung durch Tn- duction vorzieht. Euklid beweist Vieles, was ihm jeder ohnehin zugestehen würde. Indem man sich selbst an der euklidischen Strenge nicht genügen Hess, ist man auf die Untersuchungen gefiihrt worden, welche sich an das Parallele- naxiom geknüpft, haben.
So ist jene auf grösste Strenge gerichtete Bewegung schon vielfach über das zunächst gefühlte Bedürfnis« hinaus- gegangen und dieses ist an Ausdehnung und Stärke immer gewachsen.
Der Beweis hat eben nicht nur den Zweck, die Wahr- heit eines Satzes über jeden Zweifel zu erheben, sondern auch den, eine Einsicht in die Abhängigkeit der Wahrheiten von einander zu gewähien. Nachdem man sich von der rnerschütterlichkeit eines Felsblockes durch vergebliche Versuche, ihn zu bewegen, überzeugt hat, kann man ferner fragen, was ihn denn so sicher unterstütze. Je weiter man diese Untersuchungen fortsetzt, auf desto weniger Urwahr- heiten führt man Alles zurück; und diese Vereinfachung ist an sich schon ein erstrebenswerthes Ziel, Vielleicht bestätigt sich auch die Hoffnung, dass man allgemeine Weisen der Begritfs- bildung oder der Begründung gewinnen könne, die auch in ver- wickeiteren Fällen verwendbar sind, indem man zum Bewusst- sein bringt, was die Menschen in den einfachsten Fällen instiuc^ tiv getban haben, und das AUgemeiugiltige daraus abscheidet.
§ 3. Alicli haben auch philosophische BeweggrOnde za solchen Untersuchungen bestimmt. Die Fragen nach der apriorischen oder aposteriorischen, der synthetischen oder analj'tischen Natur der arithmetischen Wahrheiten harren liier ihrer Beantwortung. Denn, wenn auch diese Begriffe selbst der Philosophie angehören, so glaube ich doch, dass die Entscheidung nicht ohne Beihilfe der Mathematik erfolgen kann. Freilich hangt dies von dem Sinne ab, den man jenen Fragen beilegt.
Es ist kein seltener Fall, dass man zuerst den Inhalt eines Satzes gewinnt und dann auf einem andern beschwer- licheren Wege den strengen Beweis ffthrt, durch den man oft auch die Bedingungen der Giltigkeit genauer kennen hnit. So hat man allgemein die Frage, wie wir zu dem Inhalte eines Urtheils kommen, von der zu trennen, woher wir die Berechtigung fßr unsere Behauptung nehmen.
Jene Unterscheidungen von apriori und aposteriori, synthetisch und analytisch betreffen nun nach meiner*) Auf- fassung nicht den Fnhalt dos Urtheils, sondern die Berech- tigung zur UrtheilsfiUlung. Da, wo diese fehlt, lallt auch die Möglichkeit jener Eintheilung weg. Ein IiTthum apriori ist dann ein ebensolches Unding wie etwa ein blauer Begiiff. Wenn man einen Satz in meinem Sinne aposteriori oder < analytisch nennt, so urtheilt man nicht liber die psj'oholo- gischen, physiologischen un«l physikalischen A^erhiiltnisse, die es möglich gemacht haben, den Inhalt des Satzes im Be- wusstsein zu bilden, auch nicht darüber, wie ein Anderer vielleicht ii rthüniliclunweise dazu gekommen ist, ihn für wahr zu halt<^n, sondiin darüber, worauf im tiefsten Grunde die Berechtigung des FUrwahrhaltens bernht.
Dadurch ^ird die t>age dem Gebiete der Psychologie entrückt und dem der Mathematik zugewiesen, wenn es sich
*) Ich wiU damit natürlich nicht einen neuen Sinn hineinlegen, sondern nnr das treuen, was A'ühere Schriftsteller, insbesondere Kant gemeint haben.
um eine niatbematliische AVabiheit handelt. Es kommt nun dalauf an, den Beweis zu fiuden und ihn bis auf die Ur- wahilieiten zurückzuverfolgen. Stösst man auf diesem AVege nur auf die allgemeinen logiseben Gesetze und auf Definitionen, so bat man eine analytiscbe Wabrbeit, wobei vorausgesetzt wird, dass auch die »Sätze mit in Betracbt gezogen werden, auf denen etwa die Zulässigkeit einer Definition beruht. Wenn es aber nicht möglich ist, den Beweis zu fuhren, ohne Wahrheiten zu benutzen, welche nicht allgemein logischer Natur sind, sondern sich auf ein besonderes Wissensgebiet beziehen, so ist der Satz ein synthetischer. Damit eine Wahrheit aposteriöri sei, wild verlangt, dass ihr Beweis nicht ohne Berufung auf Thatsachen auskomme; d. h. auf unbeweisbare Wahrheiten ohne Allgemeinheit, die Aussagen von bestimmten Gegenständen enthalten. Ist es dagegen möglich, den Beweis ganz aus allgemeinen Gesetzen zu führen, die selber eines Beweises weder fjihig noch bedürftig sind, so ist die Wahrheit apriori.*)
§ 4. Von diesen philosophischen Fragen ausgehend kommen wir zu derselben Forderung, welche unabhängig davon auf dem Gebiete der Mathematik selbst erwachsen ist: die Grundsätze der Arithmetik, wenn irgend möglich, mit grösster Strenge zu beweisen ; denn nur wenn aufs sorg- fältigste jede Lücke in der Schlusskette vermieden wud, kann man mit Sicherheit sagen, auf welche IJrwahrheiten sich der Beweis stützt; und nur wenn man diese kennt, wird man jene Fragen beantworten können.
*) Wcun mau überhaupt a]]«>;enieiuc WahrLeitou auerkeuut, su nmss luaiu auch zugeben, dasd es solche Urgesetze giebt, weil ans lauter eiuzehien Thatsachcu uichts folgt, es sei deuu auf (iruud eiucs Gesetzes. Selbst die luduction beruht auf dem allgemeiueu Satze, dass dies Ver- fahren die Wahrheit oder doch eiue Wahrscheiulichkeit Hlr eiu Geset« begründen könne. Für den, der dies leugnet, ist die luduction nichts Weiter uls eiue psychologische Erscheinung, eine Weise, wie Menschen zu dem Glauben an die Wahrheit eines Satzes kommen, ohne das^ dieser Glaube dadurch IrgendM'le gerechtfertigt wäre.
Wenn mau nun dieser Forderung uacbzukonimea ver- sucht, so gelangt man sebr bald zu Sätzen, deren Beweis solange unmöglich ist, als es nicht gelingt, darin vorkom- mende Begiifte in einfachere'aufzulösen oder auf Allgemeineres zurückzuführen. Hier ist es nun vor allen die Anzahl, welche definirt oder als undefinirbar anerkannt werden muss. Das soll die Aufgabe dieses Buches sein.*) Von ihrer Lösung wird die Entscheidung über die Natur der arithmetischen Gesetze abhangen.
Bevor ich diese Fragen selbst angreife, will ich Einiges vorausschicken, was Fingerzeige für ihre Beantwortung geben kann. AVenn sich nämlich von andern Gesichtspunkten ans Gründe dafür ergeben, dass die Grundsätze der Arithmetik analytisch sind, so sprechen diese auch für deren Beweis- barkeit und für die Definirbarkeit des Begriffes der Anzahl. Die entgegengesetzte AVirkung werden die Gründe für die Apo- steriorität dieser AVahrheiten haben. Deshalb mögen diese Streitpunkte zunächst einer vorläufigen Beleuchtung unter- worfen werden.
I. Meinungen einiger Schriftsteller über die Natur der
arithmetischen Sätze.
Sind die Zahlformeln beweisbar?
§ 5. Man muss die Zahlformeln, die wie 2 + 3 == 5 von bestimmten Zahlen handeln, von den allgemeinen Ge- setzen unterscheiden, die von allen ganzen Zahlen gelten.
Jene werden von einigen Philosophen**) für unbeweisbar und unmittelbai* klar wie Axiome gehalten. Kant***) er-
*)'Es wird also im Folgenden, wenn nichts weiter bemerkt Mrurd, keinen amdcm Zahlen als den positiven ganzen die Hede sein, welche ..««i die Frage wie viele? antworten.
♦♦) Hobbes, Locke, Newton. Vergl. Banmann, die Lehren von Zeit, Kaum und Mathematik. S. 241 u. 242, S. 3*)5 ft'., S. 475.
***) Kritik der reinen Vernunft herauogeg. r. Hartenstein. IIL S. 157.
"OTPWP
6
V
?
/
klärt sie für unbeweisbar und synthetisch, scheut sich aber, sie Axiome zu ueuuen, weil sie uicht allgemein sind, und weil ihre Zahl unendlich ist. Haukel'*') neunt mit Recht diese Annahme von unendlich vielen unbeweisbaren Urwahr- heiten unangemessen und paradox. Sie widei streitet in der That dem Bedürfnisse der Vernunft nach Uebersichtlichkeit der ersten Grundlagen. Und ist es denn unmittelbar ein- leuchtendi dass
135664 + 37863 = 173527
ist? Nein! und eben dies fiihit Kant für die synthetische Natur dieser Sätze an. Es spricht aber vielmehr gegen ihre Unbeweisbarkeit; denn wie sollen sie anders eingesehen werden als durch einen Beweis, da sie unmittelbar nicht einleuchten? Kant will die Anschauung von Fingem oder Punkten zu Hilfe nehmen^ wodurch er in Gefahr geräth, diese Sätze gegen seine Meinung als empirische erscheinen zu lassen; denn die Anschauung von 37863 Fingern ist doch jedenfalls keine reine. Der Ausdinick „Anschauung** scheint auch nicht recht zu passen, da schon 10 Finger durch ihre Stellungen zu einander die verschiedensten An- schauungen hervoMiifeu können. Haben wir denn Oberhaupt eine Anschauung von 135664 Fingern oder Punkten? Hätten wir sie nnd hätten wir eine von 37803 Fingern und eine von 173527 Fingern, so müsste die Richtigkeit unserer Glei- Hiung sofort einleuchten, wenigstens für Finger, wenn sie unbeweisbar wäre; aber dies ist nicht der FalL
Kant hat offenbar nui* kleine Zahlen im Sinne gehabt. Dann wurden die Formeln für grosse Zahlen beweisbar sein, die für kleine dnixh die Anschauung unmittelbar einleuchten. Aber es ist misslich, einen ginndsätzlichen XJnterse zwischen kleinen nnd grossen 2^hlen zu machen, beso da eine scharfe Grenze nicht zu ziehen sein' modite. W
a.6ft.
*) Vorlesugea aber die amplcmtm Zakltm «aJ Ikiea Faaetiaaea.
-ZÜA
die Zahlformelu etwa von 10 an beweisbar wären, so würde mau mit Recht fragen: waium nicht von 5 an, von 2 an, von 1 an?
§ 6. Andere Philosophen und Mathematiker haben denn auch die Beweis^barkeit der Zahl formein behauptet. Leibuiz*) sagt:
,,Es ist keine unmittelbare Wahrheit, dass 2 und 2 4 sind; vorausgesetzt, dass 4 bezeichnet 3 und 1. Man kann sie beweisen und zwar so: . .n i [j
Definitionen: 1) 2 ist 1 und 1, ^: KW^[^<^ |
2) 3 ist 2 und 1, ^ ^m^^J^'^^iI^^. ;
3) 4 ist 3 und 1. -^ OLw^ldy^A^ \ Axiom: Wenn man Gleiches an die Stelle setzt, bleibt
die Gleichung bestehen.
Beweis: 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 3 + 1 = 4.
Def. 1. Def. 2. Deü 3.
Also: nach dem Axiom: 2 + 2 = 4." Dieser Beweis scheint zunächst ganz aus Definitionen und dem angefühlten Axiome aufgebaut zu sein. Auch dieses könnte in eine Definition verwandelt werden, wie es Leibniz an einem andern Orte**) selbst gethan hat. Es scheint, dass man von 1, 2, 3, 4 weiter nichts zu wissen braucht, als was in den Definitionen enthalten ist. Bei genauerer Betrachtung entdeckt man jedoch eine Lücke, die durch das Weglassen der Klammern verdeckt ist. Genauer musste nämlich geschrieben werden:
2 + 2 = 2 + (1 + 1) (2 + 1) + 1 = 3 + 1=4. Hier fehlt der Satz
2 + (1 + 1) = (2 + 1) + 1, der ein besonderer Fall von
a + (b + c) = (a + b) + c {]!
ist. Setzt man dies Gesetz voraus, so sieht man leicht, dass
P
ii
*) Nouveaux Essais, lY. g 10. Erdm. S. 363.
'*"^) Nou iuelegaus sx^ecimeu demunstrauiU iu abstracti«. Erdm. S. 94.
^ \
8
I
jede Formel des Einsundeins so bewiesen werden kann. Es| jst dann jede Zahl aus der vorhergeLenden zu definiren. Inj der That sehe ich nicht, wie uns etwa die Zahl 437086 an-j gemessener gegeben >verden könnte als in der leibnizischen Weise. Wir bekommen sie so, auch ohne eine Vorstellung von ihr zu haben, doch in unsere Gewalt. Die unendliche Menge der Zahlen wird durch solche Definitionen auf die Eins und die Vermehrung um eins zurückgefiihrt, und jede der unendlich vielen Zahlformeln kann aus einigen allgemeinen Sätzen bewiesen werden«
Dies ist auch die Meinung von IJ. Grassmann und H. Hankel. Jener will das Gesetz
a + (b + 1) =-■ (a + b) + 1 durch eine Definition gewinnen, indem er sagt*):
„Wenn a und b beliebige Glieder der Grundreihe sind, so versteht man unter der Summe a + b dasjenige Glied der Grundreihe, fiir welches die Fonnel
a-f*(^ + e) = a-|-b-|-e gilt."
Hierbei soll e die positive Einheit bedeuten. Gegen diese Erklärung lässt sich zweierlei einwenden. Zunächst whd die Summe durch sich selbst erklärt. Wenn man noch nicht weiss, was a + b bedeuten soll, versteht mau auch den Ausdruck a + (b + e) nicht. Aber dieser Einwand lässt sich vielleicht dadurch beseitigen, dass man freilich im Widerspruch mit dem Wortlaute sagt, nicht die Summe, sondern die Addition solle erklärt werden. Dann würde immer noch eingewendet werden können, dass a + b ein leeres Zeichen wäre, wenn es kein Glied der Grundreihe oder deren mehre von der verlangten Art gäbe. Dass dies nicht statthabe, setzt Grassniann einfach voraus, ohne es zu be- weisen, sodass die Strenge nur scheinbar ist.
*) Lehrbuch dir 3Iatheinatik für höhere LchraiMtalten. 1. Theil: Arithmetik, Stettin 1860, 8. 4.
^
§ 7. Man sollte (lenken, class die Zablformeln syn- thetisch oder analytisch, aposteriori oder apriori sind, je nachdem die allgemeinen Gesetze es sind, anf die sich ihr Beweis stützt. Bvm steht jedoch die Meinnng John Stuart MilTs entgegen. Zwar scheint er zunächst wie Leibniz die Wissenschaft auf Definitionen gründen zu wollen,*) da (»r die einzelnen Zahlen wie dieser erklärt; aber sein Vor- urtheil, dass alles Wissen empirisch sei, verdirbt sofort den richtigen Gedanken wieder. Er belehrt uns nämlich,**) das« jene Definitionen keine im logischen Sinne seien, dass sie nicht nur die Bedeutung eines Ausdruckes festsetzen, sondern damit auch eine beobachtete Thatsache behaupten. AVas in aller Welt mag die beobachtete oder, wie Mill auch sagt, physikalische Thatsache sein, die in der Definition der Zahl 777864 behauptet wird? Von dem ganzen Reichthume an physikalischen Thatsachen, der sich hier vor uns aufthut, nennt uns Mill nur eine einzige, die in der Definition der Zahl 3 behauptet werden soll. Sie besteht nach ihm daiin, dass es Zusammenfügungen von Gegenständen giebt, welche, während sie diesen Eindinick '^o" auf die Sinne machen, in zwei Theile getrennt werden können, wie folgt: oo o. Wie gut doch, dass nicht Alles in der Welt niet- und n.igelfest ist; dann könnten wii* diese Trennung nicht voniehmen, und 2 -|- 1 wäre nicht 3! AVie schade, dass Mill nicht auch die physikalischen Thatsachen abgebildet hat, welche den Zahlen 0 und 1 zu Grunde liegen!
3Iill fährt fort: „Nachdem dieser Satz zugegeben ist, neimen wir alle dergleichen Theile 3". Man erkennt hier- aus, dass es eigentlich unrichtig ist, wenn die Uhr drei schlägt, von diei Schlägen zu sprechen, oder säss, sauer, bitter drei Geschmacksempfindungen zu nennen; ebensowenig
*) S3 Stern der deductivcu und iuductiven Logik, übersetzt von J. Schiel. 111. Buch, XXIV. Cap, g 5.
♦♦) A. a. O. U. Buch, VI. Cap , § 2.
10
ist der Ausdruck „drei Auf lösuugs weisen einer Gleichung" zu billigen; denn man hat niemals davon den sinnlichen Eindruck wie von V.
Nun sagt Mill: „Uie Rechnungen folgen nicht aus der Definition selbst, sondern aus der beobachteten Thatsache/' Aber wo hätte sich Leibniz in dem oben mitgetheilten Beweise des Satzes 2 + 2 = 4 auf die erwähnte Thatsache berufen sollen? Mill unterlässt es, die Lücke nachzuweisen, obwohl er einen dem leibnizischen ganz entsprechenden Be- weis des Satzes 5 -|- 2 = 7 giebt.*) Die wirklich vorhan- dene Lücke, die in dem Weglassen der Klammern liegt, übersieht er wie Leibniz.
AVenn wirklich die Definition jeder einzelnen Zahl eine besondere physikalische Thalsache behauptete, so würde man einen Mann, der mit neunzitfrigeu Zahlen rechnet, nicht genug wegen seines phj^sikalischen Wissens bewundern können. Vielleicht geht indessen ^lill's Meinung nicht dahin, dass alle diese Thatsachen einzeln beobachtet werden müssten, sondern es genüge, durch Induction ein allgemeines Gesetz abgeleitet zu haben, in dem sie sämmtlich eingeschlossen seien. Aber man versuche, dies Gesetz auszusprechen, und man wird finden, dass es unmöglich ist. Es reicht nicht hin, zu sagen: es giebt gi'osse Sammlungen von Dingen, die zerlegt werden können; denn damit ist nicht gesagt, dass es so gi'osse Sammlungen und von der Art giebt, wie zur De- finition etwa der Zahl 1000000 erfordert werden, und die Weise der Theilung ist auch nicht genauer angegeben. Die millsche Auffassung fuhrt nothwendig zu der Forderung, dass flu' jede Zalü eine Thatsache besonders beobachtet werde, weil in einem allgemeinen Gesetze grade das Eigen- thümlicbe der Zahl 1000000, das zu deren Definition noth- wendig gehört, verloren gehen würde. Man dürfte nach Mill in der That nicht setzen 1000000 = 999999 + 1,
♦) A. a. 0. HL Blich, XXIV. Cäp., § 5.
I i
11
wenn man nicht grade diese eigentliümliche Weise der Zer- legung einer tfammlung von Dingen beobachtet hätte, die von der irgendeiner andeni Zahl zukommenden verschieden ist.
§ 8. Mill scheiut zu meinen, dass die Definitionen 2 = 1 -|- 1, 3 = 2 -f 1, 4 = 3 + 1 u. s. w. nicht ge- macht werden dürften, ehe nicht die von ihm erwähnten Thatsachen beobachtet wären. In der That darf mau die 3 nicht als (2 4- 1) definiren, wenn man mit (2 + 1) gar keinen üSinn verbindet. Es fragt sich aber, ob es dazu nöthig ist, jene Sammlung und ihre Trennung zu beobachten. Bäth- selhaft wäre dann die Zahl 0; denn bis jetzt hat wohl nie- mand 0 Kieselsleine gesehen oder getastet. Mill würde gewiss die 0 für etwas Sinnloses, für eine blosse Redewendung erklären; die Rechnungen mit 0 würden ein blosses Spid mit leeren Zeichen sein, und es wäre nur wunderbar, wie etwas A'ernünftiges dabei herauskommen könnte. Wenn aber diese Rechnungen eine ernste Bedeutung haben, so kann auch das Zeichen 0 selber nicht ganz sinnlos sein. Und es zeigt sich die Möglichkeit, dass 2 + 1 in ähnlicher Weise wie die 0, einen Sinn auch dann noch haben könnte, wenn die von Mill erwähnte Thatsache nicht beobachtet wäre. Wer will in der That behaupten, dass die in der Definition einer ISziffrigen Zahl nach Mill enthaltene Thatsache je beob- achtet sei, und wer will leugnen, dass ein solches Zahl- zeichen trotzdem einen Sinn habe?
Vielleicht meint mau, es würden die physikalischen Thatsachen nur für die kleineren Zahlen etwa bis 10 ge- biaucht, indem die übngen aus diesen zusammengesetzt werden könnten. Aber, wenn man 11 aus 10 und 1 blos durch De- finition bilden kann, ohne die entsprechende Sammlung ge- sehen zu haben, so ist kein Grund, weshalb man nicht auch ^'^^ die 2 aus 1 und 1 so zusammensetzen kann. Wenn die Rechnungen mit der Zahl 11 nicht aus einer für diese be- zeichnenden Thatsache folgen, wie kommt es, dass die Rech- nungen mit der 2 sich auf die Beobachtung einer gewissen
12
Sammluug und deren eigentliümlicher Trennung stützen müssen?
Man fragt vielleicht, wie die Arithmetik bestehen könne, wenn wir durch die Sinne gar keine oder nur drei Dinge unterscheiden könnten. Für unsere Kenntniss der arithme- tischen Sätze und deren Anwendungen würde ein solcher Zustand gewiss etwas Missliches haben, aber auch lür ihre Wahrheit? Wenn man einen Satz empirisch nennt, weil wir Beobachtungen gemacht haben müssen, um uns seines Inhalts bewusst zu werden, so gebraucht man das Wort „empirisch" nicht in dem Sinne, dass es dem „apriori'* entgegengesetzt ist. ]Man spricht dann eine psychologische Behauptung aus, die nur den Inhalt des Satzes betnfft; ob dieser walir sei, kommt dabei nicht in Betracht. In dem Sinne sind auch alle Geschichten Münchhausens empirisch; denn gewiss muss man mancherlei beobachtet haben, um sie erfinden zu können.
Sind die Gesetze der Arithmetik iuductive
Wahrheiten?
§ 9. Die bisherigen Erwägungen machen es wahr- scheinlich, dass die Zahlformeln allein aus den Definitionen der einzelnen Zahlen mittels einiger allgemeinen Gesetze ab- leitbar sind, dass diese Definitionen beobachtete Thatsachen weder behaupten noch zu ihrer Rechtmässigkeit voraussetzen. Es kommt also darauf an, die Natur jener Gesetze zu erkennen.
Mill*) will zu seinem vorhin erwähnten Beweise der Formel 5 + 2 = 7 den Satz „was aus Theilen zusammen- gesetzt ist, ist aus Theilen von diesen Theilen zusammen- gesetzt" benutzen. Dies hält er für einen charakteristischern Ausdruck des sonst in der Form „die Summen von Gleichem sind gleich" bekannten Satzes. Er nennt ihn inductive Wahrheit und Naturgesetz von der höchsten Ordnung. Für
♦) A. a. 0. IIL Buch, XXIV. Cap., § 6.
18
die Unge-nauigkeit seiner Darstellung ist es bezeichnend, das» er diesen Satz gar nicht an der Stelle des Beweises heran- zieht, wo er nach seiner Meinung unentbehrlich ist; doch scheint es, dass seine inductive Wahrheit Leibnizens Axiom vertreten soll: „wenn man Gleiches an die Stelle setzt, bleibt die Gleichung bestehen." Aber um arithmetische Wahrheiten Naturgesetze nennen zu können, legt Mill einen Sinn binein, den sie nicht haben. Er meint z. B."^) die Gleichung 1 = 1 könne falsch sein, weil ein Pfundstftck nicht iunner genau das Gewicht eines andern habe. Aber das will der Satz 1 = 1 auch gar nicht behaupten.
Mill versteht das -{- Zeichen so, dass daduix^h die Beziehung der Theile eines physikalischen Körpers oder eines Haufens zu dem Ganzen ausgedrückt werde; aber das ist nicht der Sinn dieses Zeichens. 5 4-2 = 7 bedeutet nicht, dass wenn man zu 5 Kaumtheilen Flüssigkeit 2 Banmtheile Flüssigkeit giesst, man 7 Baumtheile Flüssigkeit erhalte, sondern dies ist eine Anwendung jenes Satzes, die nur statt- haft ist, wenn nicht infolge etwa einer chemischen Ein- wiikung eine Volumändeiung eintritt. Mill verwechself immer Anwendungen, die man von einem arithmetischen Satze machen kann, welche oft physikalisch sind und beob- achtete Thatsachen zur Voraussetzung liaben, mit dem rein mathematischen Satze selber. Das Pluszeichen kaim zwaiv^ in manchen Anwendungen einer Haufenbildung zu entsprechen scheinen ; abei* ilies ist nicht seine Bedeutung; denn bei amleiHj^ Anwendungen kann von Haufen, Aggregaten, dem Verhält- nisse eines physikalischen Körpers zu seinen Theilen keine Rede sein, z. B. wenn man ilie Rechnung auf Ereignisse bezieht. Zwsir kann man auch hier von Theilen sprechen; dann gebraucht man das Wort aber nicht im physikalischen oder geometiischen, sondern im logischen Sinne, wie wenn man die Ermordungen von Staatsoberhäuptern einen Theil
♦; A. a. O. 11. Buch, VL Cap., g 3.
14
der Morde überhaupt nennt. Hier hat man die logische Unterordnung. Und so entspricht aucli die Addition im Allgemeinen nicht einem physikalischen Verhältnisse. Polg- lich können auch die allgemeinen Additionsgesetze nicht Natnrgesetze sein.
§ 10. Aber sie könnten vielleicht dennoch inductive Wahrheiten sein. Wie wäre das zu denken? Von welchen Thatsachen soll man ausgehen, nm sich zum Allgemeinen zu erheben? Dies können wohl nur die Zahlfoimeln sein. Damit verlören wir freilich den Vortheil wieder, den wir durch die Definitionen der einzelnen Zahlen gewonnen haben, und wir müssten uns nach einer andern BegrOndungsweise der Zahlformeln umsehen. Wenn wir uns nun auch über dies nicht ganz leichte Bedenken hinwegsetzen, so finden wir doch den Boden für die Induction ungünstig; denn hier fehlt jene Gleichförmigkeit, welche sonst diesem Verfahren eine giosse Zuvei lässigkeit geben kann. Schon Leibniz*) lässt dem Philalethe auf seine Behauptung:
„Die verschiedenen Modi der Zahl sind keiner andern Verschiedenheit föhig, als des mehr oder weniger; daher sind es einfache Modi wie die des Raumes" antworten :
„Das kann man vun der Zeit und der geraden Linie sagen, aber keinesfalls von den Figuien und noch weniger von den Zahlen, die nicht blos an Grösse verschieden, sondern auch unähnlich sind. Eine gerade Zahl kann in zwei gleiche Theile getheilt werden und nicht eine ungerade; 3 und 6 suul trianguläre Zahlen, 4 und 9 sind Quadrate, 8 ist ein Cubus u. s. f.; und dies findet bei den Zahlen noch mehr statt als bei den Figuren; denn zwei ungleiche Figuren können einander vollkommen ähnlich sein, aber niemals zwei Zahlen.''
Wir haben uns zwar daran gewöhnt, die Zahlen in
*) Baomaun, a. a. O , II , S. 39; Erdm. S. 243.
itf«*Mk«ta**» IK.»
15
vielen Bezielimigcn als gleiclicOitig zu belracliten; das kommt aber nnr (laher, weil wir eine Menge allgemeiner Sätze kennen, die von allen Zahlen gelten. Hier niQssen wir uns jedoch auf den Standpunkt stellen, wo noch keiner von diesen anerkannt ist. In der That möchte es schwer sein, ein Beispiel für einen Tnduclionsschlnss zu finden, das unsei*em Falle entspräche. Sonst kommt uns oft der Satz zu statten, dass jeder Ort im Tlaume und jeder Zeitpunkt an und für sich so gut wie jeder andere ist. Ein Erfolg rauss an einem andern Oile und zu einer andern Zeit ebensogut eintreten, wenn nur die Bedingungen dieselben sind. Das fällt hier hinweg, weil die Zahlen räum- und zeitlos sind. Die Stellen in dei* Zahlenreihe sind nicht gleichweithig wie die Orte des Baumes.
Die Zahlen verhalten sich auch ganz anders als die Individuen etwa einer Thierait, da sie eine durch die Natur der Sache bestimmte Rangordnung haben, da jede auf eigne Wei?e gebildet ist und ihre Eigenart hat, die besonders bei der 0, dei- 1 und der 2 hervortritt. Wenn man sonst einen Satz in Bezug auf eine Gatlung durch Induction begrfindet, hat man gewöhnlich schon eine ganze Reihe gemeinsamer KigeiiSchaften allein schon durch die Definition des Gattnngs- begriftVs. Hier halt es schwer, nur eine einzige zu finden, die nicht selbst erst nachzuweisen wäre.
Am leichtesten möchte sich unser Fall noch mit fol- gendem vergUichen lassen. Man habe in einem Bohrloche eine mit der Tiefe regelmässig zunehmende Temperatur be- merkt; man habe bisher sehr verschiedene Gesteinsschichten angetrofien. Es ist dann offenbar aus den Beobachtungen, die man an diesem Bohrloche gemacht hat, allein nichts iiber die Beschaftenheit der tiefern Schichten zu schliessen, und ob die Regelmassigkeit der Temperaturvertheilung sich weiter bewähren würde, muss dahingestellt bleiben. Unter den Begrilf „was bei foitgeset/tem Bohren angetrofien wird'* fällt zwar das bisher Beobachtete wie das Tieferliegende;
'*:iriLMt»a,^M -^ ^ ^....^ _.^ .^. ., , ^, ,„.
ii~ *~ I ^WfT~'*" • -^M* . .••••" « I ■ ^^— ^^— ^^^»*^»»^— •*■»' • »■ •••
16
aber das kann liier wenig nützen. Ebenso wenig wird es uns bei den Zahlen nützen, dass sie sämmtlicU unter den Begriff „was mau durch fortgesetzte Vermelirung um eins erhält*' fallen. Alan kann eine Verschiedenheit der beiden Fälle darin finden, dass die Schichten nur angetroffen werden, die Zahlen aber durch die fortgesetzte Vermehrung um eins geradezu geschalfen und ihrem ganzen Wesen nach bestimmt weiden. Dies kann nur heissen, dass man aus der Weise, ( wie eine Zahl, z. B. 8, durch Vermehrung um 1 entstanden ist, alle ihre Eigenschaften ableiten kann. Dannt giebt man im Grunde zu, dass die Eigenschaften der Zahlen aus ihren Definitionen folgen, und es eiöffnet sich die Möglichkeit, die allgemeinen Gesetze der Zahlen aus der allen gemeinsamen Entstehungsweise zu beweisen, während die besondei n Eigen- schaften der einzelnen aus der besondern Weise zu folgern waien, wie sie durch fortgesetzte Vermehrung um eins ge- bildet sind. So kann man auch, was bei den Erdschichten, schon durch die Tiefe allein bestimmt ist, in der sie ge- troflen werden, also ihre I.agenverhältnisse, eben daraus schliessen, ohne dass man die Tnduction nöthig hätte; was aber nicht dadurch bestimmt ist, kann auch die Tnduction nicht lehren.
Vermutlilicli kann das Verfahren der Tnduction selbst nur mittels allgemeiner Sätze der Arithmetik gerechtfertigt werden, wenn man darunter nicht eine blosse Gewöhnung verstellt. Diese hat nämlich durchaus keine wahiheitver- bürgende Kraft. AVälirend das wissenschaftliche Verfahren nach objectiven Maasstäben bald in einei- einzigen Bestä- tigung eine hohe Wahrscheinlichkeit begründet findet, bald tausendfaches Eintrelfen tast für werthlos erachtet, wird die Gewöhnung duich Zahl und Stäike der Eindrücke und subjective Verhältnisse bestimmt, die keinerlei Recht haben, auf das Urtheil Einfluss zu üben. Die Tnduction muss sieb auf die Lehre von der Wahrscheinlichkeit stützen, weil sie einen Satz nie mehr als wahrscheinlich machen kann. Wie
■■•«I» !«• ■•-.".- »W, ^.
17
diese Lebre aber obne Voraussetzung aritbmetischer Gesetze entwickelt werden kunue, ist nicbt abzuseben.
§ 11. Leibniz"^) meint dagegen, dass die notbwendigen AV^abrlieiten, wie man solcbe in der Arithmetik findet, Piincipien haben müssen, deren Beweis nicht von den Bei- spielen und also nicht von dem Zeugnisse der Sinne abbangt, wiewolil ohne die Sinne sich niemand hätte einfallen lassen, daian zu denken. „Die ganze Arithmetik ist uns eingeboren und in uns auf virtuelle Weise." Wie er den Ausdruck „eingeboren" mehit, verdeutlicht eine andere Stelle**): „Es ist nicht wahr, dass alles, was man lernt, nicht eingeboren sei; — die Wahrheiten der Zahlen sind in uns, und nichts- destoweniger lernt man sie, .sei es, indem mau sie aus ihrer Quelle zieht, wenn man sie auf beweisende Art lernt (was eben zeigt, dass sie eingeboren sind), sei es . . . •"•
Sind die Gesetze der Arithmetik synthetisch apriori
oder analytisch«^
§ 12. Wenn man den Gegensatz von analytisch und synthetisch hiuzunimmt, ergeben sich vier Combinatiouen, von denen jedoch eine, nämlich
analytisch aposteiiori
ausfällt. Wenn man sich mit jMill für aposteriori ent- schieden hat, bleibt also keine Wahl, sodass für uns nur noch die Möglichkeiten
synthetisch apriori und
analytisch
zu erwägen bleiben. Für die er.<^tere entscheidet sich Kant.
*) Baumanu a. a. 0. Bd. 11. S. 13 n. 14; Erdin. S. 195, S.208 u. 209.
**) Baumaun a. a. 0. Bd. IL, S. 38; Erdm. S. 313.
2
18
In diesem Falle bleibt wohl nichts ttbrig, als eine reine Anschauung als letzten Erkenntuissgi und auzuiufeu, obwohl hier schwer zu sagen ist, ob es eine räumliche oder zeitliche ist, oder welche es sonst sein mag. Baum au n*) stimmt Kant, wenngleich mit etwas anderer Begründung, bei. Auch nach Lipschitz*"^) fliesseu die Sätze, welche die Unabhängigkeit der Anzahl von der Art des Zählens und die Vertauschbarkeit und Gruppirbarkeit der Summanden behaupten, aus der inneren Anschauung. Ilankel^'*''*') gründet die Lehre von den reellen Zahlen auf drei Grundsätze, denen er den Charakter der notiones communes zu- schreibt: „Sie werden durch Explication vollkommen evident, gelten für alle Grössengebiete nach der reinen Anschauung der Grosse und können, ohne ihren Charakter einzubUssen, in Definitionen verwandelt werden, indem man sagt: Unter der Addition von Grössen versteht man ehie Operation, welche diesen Sätzen genügt.^ In der letzten Behauptung liegt eine Unklarheit. Vielleicht kann man die Definition machen; aber sie kann keinen Ersatz für jene Grundsätze bilden; denn bei der Anwendung würde es sich immer darum handeln: sind die Anzahlen Grössen, und ist das, was man Addition der Anzahlen zu nennen pflegt, Addition im Sinne dieser Definition? Und zui* Beantwortung mDsste man jene Sätze von deii Anzalüen schon kennen. Ferner eiregt der Ausdruck „reiue Anschauung der Glosse^ Anstoss. Wenn man erwägt, was alles Grösse genannt wird: Anzahlen, Längen, Flächeninhalte, Volumina, Winkel, Krümmungen, Massen, Geschwindigkeiten, Kräfte, Lichtstärken, galvanische Stromstärken u. $. f., so ist wohl zu vei*stehen, wie man dies einem Grössenbegriffe unteroidnen kann; aber der Ausdiuck „Anschauung der Grösse^ und gar „reine An-
*) A. a. O. Bd. IL, S. 609. **ß Lelirbucli der Analysi.««, Bd. I., S. 1. ***) Theorie der coinplexen Zahlenflysteuie, S. 54 u. 55.
19
schauung der Grösse" kann nicht als zutreffend anerkannt werden. Ich kann nicht einmal eine Anschauung von 100000 zugeben, noch viel weniger von Zahl im Allgemeinen ()di»r gar von Grösse im Allgemeinen. Man beruft sich zn leicht auf innere Anschauung, wenn man keinen andern (jrund anzugeben vermag. Aber mau sollte dabei den Sinn des Wortes „Anschauung" doch nicht ganz aus dem Auge verlieren.
Kant definirt in der Logik (ed. Hartenstein, VIII, S. 88): „Die Anschauung ist eine einzelne Vorstellung (repiue- sentatio singularis), der Begiitf eine allgemeine (repraesentatio per notas comniunes) oder reflectirte Vorstellung (reprae- sentatio discursiva)."
Hier kommt die Beziehung zur Sinnlichkeit gar nicht zum Ausdrucke, die doch in der transcendentalen Aesthetik hinzugedacht wiid, und ohne welche die Anschauung nicht als Erkenntnissprincip für die synthetischen Urtheile apriori dienen kann. In der Kr. d. r. V. (ed. Hartenstein III, S. 55) heisst es:
„Vermittelst der Sinnlichkeit also wei-den uns Gegen- stände gegeben und sie allein liefert uns Anschauungen.'' Der Sinn unseres Wortes in der Logik ist demnach ein weiterer als in der trancendentalen Aesthetik. Im logischen Sinne könnte man vielleicht 100000 eine An- schauung nennen; denn ein allgemeiner Begriff ist es nicht. Aber in diesem Sinne genommen, kann die Anschauung nicht zur BegiUndung der arithmetischen Gesetze dienen. § 13. Ueberhaupt wird es gut sein, die Verwandtschaft mit der Geometne nicht zu überschätzen. Ich habe schon eine leibnizische Stelle dagegen angeführt. Ein geometrischer Punkt fiir sich betrachtet, ist von irgendeinem andern gar nicht zu unterscheiden; dasselbe gilt von Geraden und Ebenen. Erst wenn mehre Punkte, Gerade, Ebenen in einer An- schauung gleichzeitig aufgefasst werden, unterscheidet man sie. Wenn in der Geometrie allgemeine Sätze aus der
MMMdarfiMtfMMkto*«MMtaM.jMM^HrfkiMHiakii«iM*M
20
Anscliauuiig gewonnen werden, so ist das daians erklärlich, dass die angesclianten Pnukte, Geraden. Ebenen eigentlicb gar keine besondern sind und daher als Yeitreter ihrer ganzen Gattung gelten können. Anders liegt die Sache bei den Zahlen: jede hat ihre Eigenthiimlichkeit. Inwiefern eine bestimmte Zahl alle andern vertreten kann, und wo ihre Besonderheit sich geltend macht, ist ohne Weiteres nicht zu sagen.
§ 14. Auch die Vergleichung der Wahrheiten in Bezug auf das von ihnen beherrschte Gebiet spricht gegen die empirische und synthetische Xatur der arithmetischen Gesetze. /" Die Erfahrnngssätze gelten für die physische oder
( psychologische Wirklichkeit, die geometrischen Wahrheiten \ beherrschen das Gebiet des iäumlich Anschaulichen, mag iX es nun Wirklichkeit oder Erzeugniss der Einbildungskraft \ sein. Die tollsten Fiebeiphantasien, die kühnsten Erfindungen vjier Sage und der Dichter, welche Thiere reden, Gestirne stille stehen lassen, ans Steinen Menschen und aus i!ilensc4fen Bäume machen, und lehren, wie man sich am eignen Schöpfe aus dem Sumpfe zieht, sie .^ind doch, sofern sie anschaulich bleiben, an die Axiome der Geometrie gebunden. Von diesen kann nur das begrifUiche Denken in gewisser Weise loskommen, wenn es etwa einen Raum von vier Dimensionen oder von positivem Krümmungsmaasse annimmt. Solche Betrachtungen sind dun haus nicht unnütz; aber sie ver- lassen ganz den Boden der Anschauung. Wenn man diese auch dabei zu Hilfe nimmt, so ist es doch immer die An- schauung des euklidisch« n Raumes, des einzigen, von dessen Gebilden wir eine haben. Sie wird dann nur nicht so, wie sie ist, sondern symbolisch für etwas anderes genommen; man nennt z. B. gerade oder eben, was man doch als Krummes anschaut. Für das begrifdiche Denken kann man immerhin von diesem oder jenem geometrischen Axiome das Gegentheil annehmen, ohne dass nmn in Widersprüche mit sich selbst verwickelt wird, wenn man Schlus^ifolgerungen
t^iwiiii iw \- 1 mmt m^inAit
v
IV«
21
aus solchen der Auscliamuig widerstreitenden Annahmen zieht. Diese Möglicbkeit zeigt, das^s die geometrischen Axiome von einander und von den logischen Urgesetzen unabhängig; also synthetisch sind. Kanu man dasselbe von den Grundsätzen der Zahlenwissenschaft sagen? Stnrzt nicht alies in VerwiiTung, wenn man einen von diesen leugnen wollte? Wäre dann no4!h Denken möglich? Liegt nicht der Grund der Arithmetik tiefer als der alles Er- fahrungswissens, tiefer selbst als der der Geometrie? Die arithmetischen Wahrheiten belierrscheu das Gebiet des \ Zählbaren. Dies ist das umfassendste; denn nicht nar das j Wirkliche, nicht um* das Anschauliche gehört ihm an, sondern alles Denkbare. Sollten also niclit die Gesetze der Zahlen ;mit denen des Denkens in der innigsten Verbindung stehen? § 15. Dass Leibnizens Aussprüche sich nur zn Gunsten der analytischen Natur der Zahlgesetze deuten lassen, ist vorauszusehen, da für ihn das Apriori mit dem Analytischen zusammenfällt. So sagt ei*^), dass die Algebra ihre Vortheile einer viel höhern Kunst, nämlich der wahren Logik entlehne. An einer andern Stelle**) vergleicht er die nothwendigen und zufälligen Wahrheiten mit den commen- surabeln und incommensuiabeln Grössen und meint, dass bei nothwendigen Wahrheiten ein Beweis oder eine Zurück- führung auf Identitäten möglich sei. Doch diese Aeusserungen verlieren dadmxh an Gewicht, dass Leibniz dazu neigt, alle Wahrheiten als beweisbar anzusehen***): ,,.... dass jede Wahrheit ihren apriorischen, aus dem Begiiff der Termini gezogenen Beweis hat, wiewohl es nicht immer in unserer Macht steht, zu dieser Analyse zu kommen.^ Der Vergleich mit der Commensurabilität und Incommensurabilität richtet freilich doch wieder eine fiir uns wenigstens unäber-
*) Bauuiaun a. a. O. Bd. 11., S. 56; Erdni. S. 424. **) Baumauu a. a. 0. Bd. II., S. 57; £rdm. S. 83. ***) Baumann a. a. 0. Bd. IL, S. 57; Perts, IL, S. 55.
1^
S9
schreitbare Schranke zwischfji ziitälligen und nothwendigen AVahiheiten auf.
Sehr entscliieden im Sinne der analytischen Natur der Zahlgesetze spricht sich AV. Stanley Jevons aus*): „Zahl ist nur logische Uuterscheidung und Algebra eine hoch entwickelte Logik."
§ 16. Aber auch diese Ansicht hat ihre Schwierig- keiten. Soll dieser hochragende, weitverzweigte und immer noch wachsende Baum der Zahlenwissenschaft in blossen Identitäten wurzeln? Und wie kommen die leeren Formen der Logik dazu, aus sich heraus solchen Inhalt zu gewinnen?
Mill meint: „Die Lehre, dass wir durch kunstfertiges Handhaben der Sprache Thatsachen entdecken, die verborgene Natu)'i»roiesse enthüllen können, ist dem gesunden Menschen- verstände so entgegen, dass es schon einen Fortsehritt in der I Philosophie Verlan j;t, um sie zu glauben'*.
Gewiss dann, wenn man sich bei dem kunstfertigen Handhaben nichts denkt. Mi 11 wendet sich hier gegeu einen Formalismus, der kaum von irgendwem vertreten wird. Jeder, der Worte oder mathematische Zeichen gebraucht, macht den Anspiuch, dass sie etwas bedeuten, und niemand wird erwarten, dass aus leeren Zeichen etwas Shinvolles heivorgehe. Aber es ist möglich, dass ein Mathematiker längere Kechnu::gen vollführt, ohne unter seinen Zeichen etwas sinnlich Wahrnehmbares, Anschauliches zu verstehen. Darum sind diese Ze^'chen noch nicht sinnlos; man unterscheidet dennoch ihren Inhalt von ihnen selbst, wenn dieser auch vielleicht nur mittels der Zeichen fassbar wird. Man ist sich bewusst, dass andere Zeichen für Dasselbe hätten festgesetzt werden können. Es genügt zu wissen, wie der in den Zeichen versinnlichte Inhalt logisch zu behandeln ist, und wenn man Anwendungen auf die Physik machen will, wie der üebergang zu den Erscheinungen geschehen
*; The priuciplefi of 8cieucc. L^utlun I87J». S, 156.
'—**'—'***■**«'— ^*^tma——teaa Uv% <*tj»ju.^
28
miL^s. Aber in einer solclien Anwendung ist nicht der iigentlicbe Sinn der Sülze zu :<eben. Dabei gebt immer ein grosser Tbeil der Allgemeinbeit verloren, und es kommt etwas Besonderes biuein, das bei andern Anwendungen durcb Anderes ersetzt wird.
§ 17. Man kann trotz aller Herabsetzung der Deductium docb nicbt leugnen, dass die durcb Induction begilindeten Gesetze nicht genügen. Aus ihnen müssen neue Sätze ab- geleitet werden, die in keinem einzelnen von jenen enthalten sind. Dass sie in allen zusammen schon in gewisser Weise stecken, entbindet nicbt von der Arbeit, sie daraus zu ent- wickeln und für sich herauszustellen. Damit eröffnet sich folgende Möglichkeit. Statt eine Schlussreihe unmittelbar an eine Thatsache anzuknüpfen, kann man, diese dahin- gestellt sein lassend, ihren Inhalt als Bedingung mitführen. Indem man so alle That^^achen in einer Gedankenieihe dmxh Bedingungen ersetzt, wird man das Ergebniss in der Form erhalten, dass von einei* Reihe von Bedingungen ein Erfolg abhängig gemacht ist. Diese Wahrheit wäre durch Denken allein, oder, um mit Mi 11 zu reden, durch kunstfertiges Handhaben der Sprache begründet. Es ist nicbt unmöglich, dass die Zahlgesetze von dieser Art sind. Sie wären dann analytische Urtbeile, obwobl sie nicht durch Denken allein gefunden zu sein brauchten; denn nicbt die Weise des Findens kommt hier in Betracht, sondern die Art der Be- weisgründe; oder, wie Leibniz sagt*), „es bandelt sich hier nicbt um die Geschichte unserer Endeckuugen, die verschieden ist in verschiedenen Menschen, sondern um die Verknüpfung und die natürliche Ordnung der AVahrheiten, die immer dieselbe ist.^' Die Beobachtung hätte dann zuletzt zu entscheiden, ob die in dem so begründeten Gesetze ent- haltenen Bedingungen erfüllt sind. So würde man schliesslich eben dahin gelangen, wohin man durch unmittelbare An-
*) Nouveaux Essai«, lY, § 9; £rdm. S. 300.
*■'■ I hl
■^•""^^ "• in ,1 II ■ -
24
kuüpfung der Schlussreilie an die beobachteten Thatsachen gekommen wäie. Aber die hier angedeutete Art des Vor- gehens ist in vielen Fällen vorzuziehen, weil sie auf einen allgemeinen Satz lührt, der nicht nur auf die grade vor- liegenden Thalsachen anwendbar zu sein braucht. Die Wahcheiteu der Arithmetik würden sich dann zu denen der Logik ähnlich verhalten wie die Lehrsätze zu den Axiomen der Geometrie. Jede wfirde in sich eine ganze Schlussreihe für den künftigen Uebrauch vt*rdichtet enthalten, und ihr Nutzen würde darin bestehen, dass man die Schlüsse nicht mehr einzeln zu machen braucht; sondern gleich das £r- gebniss der ganzen Reihe aussprechen kann*). Angesichts der gewaltigen Entwicklung der arithmetischen Lehren und ihrer vielfachen Anwendungen wird sich dann freilich die weit verbreitete Cjeringsthätzung der analytischen Urtheile und das Märchen von der Unfruchtbaikeit der reinen Logik nicht halten lassen.
Wenn man diese nicht hier zuerst geäusserte Ansicht im Einzelnen so streng durchfüliren könnte, dass nicht der geringste Zweifel zurückbliebe, so würde das, wie mir scheint, kein ganz unwichtiges Ergebniss sein.
II. Meinungen einiger Schriftsteller über den Begriff
der Anzahl.
§ 18. Indem wir uns nun den ursprünglichen Gegen- ständen der Arithmetik zuwenden, unterscheiden wir die einzelnen Zahlen 3, 4 u. s. f. von dem allgemeinen Begriffe
") Ms ist nuft'anen«]. da^^s aiuh Mi 11 a. a. O. IL ßiuh, VL Cap. S 1 diese Ansicht an^zuspreclien srheint. .Sein gesunder Sinn durchbricht eben von Zeit zu Zoit sc>in Vururtheil tiir das Euipirisohe. Aber dieses briuprt immer wieder Alles in Verwirnni^, indem es ihn die ph3'sika] Ischen Anwendungen der Arithmetik mit dieser selbst verwechseln lässt. Er 81'heint nicht zu wissen, dass ein hypothetisches Urtheil auch dann wahr sein kann, wenn die Bedingung nicht wahr ist.
25
der Anzahl. Nun haben wir uns schon dafür entschieden, daiis die einzelnen Zahlen am bebten in der Weise von Leibuiz, Mill, H. (Jrassinann nnd Andern ans der Eins * nnd der Verniebnmg nni eins abgeleitet werden, dass aber diese Erklärungen unvollständig bleiben, solange die Eins und die Vermehrung um eins unerklärt sind. Wir haben p:esehcn. dass man allgemeiner Sätze bedarf, um aus diesen Definitionen die Zahlformeln abzuleiten. Solche Gesetze * können eben wegen ihrer Allgemeinheit nicht ans den De- finitiouf n der einzelnen Zahlen folgen, sondern nur aus dem allgemeinen Begriffe der Anzahl. Wir unterwerfen diesen jetzt einer genaueren Betrachtung. Dabei werden voraus- siebt lieh auch die Eins und die Vermehrung um eins erörtert werden müssen und somit auch die Definitionen der einzelnen Zahlen eine Ergänzung zu erwarten haben.
§ 10. Hier möchte ich mich nun gleich gegen den Versuch wenden, die Zahl geometrisch als Verhältnisszahl von Längen oder Flächen zu fassen. Man glaubte offenbar die vielfachen Anwendungen der Arithmetik auf Geometrie dadurch zu erleichtern, dass man gleich die Anfange in die engste Beziehung setzte.
Newton*) will unter Zahl nicht so sehr eine Menge von Einheiten als das abstracte Verbältniss einer jeden Grösse zu einer andern derselben Art verstehen, die als Einheit genommen wird. Man kann zugeben, dass hiermit die Zahl im weitern Sinne, wozu auch die Brüche und Irrationalzahlen gehören, zutreffend beschrieben sei; doch werden hierbei die Begriffe der Grösse und des Grössen- verhältnisses vorausgesetzt. Danach scheint es, dass die Erklärung der Zahl im engern Sinne, der Anzahl, nicht Uberllüssig werde; denn Euklid braucht den Begriff des Gleich vielfachen um die Gleichheit von %wei Längenver- hältnissen zu definiren; und das Gleichvielfache kommt
*i fiaumaui a. a. O. Bd. 1, 8. 47S.
»I«B1 -^^^^l^^...^, —-11
'<■■■■ ■■■■
26
wieder auf eine Zalileiiglwhheit hinaus. Aber es mag sein, flass die Gleiclilieil von Lruigenverliältnisseu uuabbängig vom Zalilbegriffe deflnii'bar ist. Man bliebe dann jedoch im Ungewissen darüber, in welcher Beziehung die so geometrisch definirte Zahl zu der Zahl des gemeinen Lebens stände. Dies wäre dann ganz von der Wissenschaft getrennt. Und doch kann man wohl von der Arithmetik verlangen, dass sie die Anknüpfungsfiunkte för jede Anwendung der Zahl bieten muss, wenn auch die Anwendung selbst nicht ihre Sache ist. Auch das gewöhnliche Rechnen muss die Be- gründung seines Verfahrens in der Wissenschaft finden. Und dann erhebt sich die Frage, ob die Arithmetik selbst mit einem geometrischen B«.^griffe der Zabl auskomme, wenn man an die Anzahl der Wurzeln einer Gleichung, der Zahlen, die prim zu einer Zahl und kleiner als sie sind, und ähnliche Vorkommnisse denkt. Dagegen kann die Zahl, welche die Antwort auf die Frage wieviel? giebt, auch be- stimmen, wieviel Einheiten in einer Länge enthalten sind. Die Rechnung mit negativen, gebrochenen, Irrationalzahlen kann auf die mit den natürlichen Zahlen zurückgeführt werden. Newton wollte aber vielleicht unter Grössen, als deren Verbältuiss die Zahl definirt wird, nicht nur geometiische, sondern auch Mengen verstehen. Dann wird jedoch die Erklärung für unsern Zweck unbrauchbar, weil von den Ausdrücken „Zahl, durch die eine Menge bestimmt wird** und „Verhältniss einer Menge zur Mengeneinheit" der letztere keine bessere Auskunft als der erstere giebt.
§ 20. Die erste Frage wird nun sein, ob Zahl definirbar ist. H an kel*) spricht sich dagegen aus: „Was es heisst, ein Object Imal, 2 mal, 3 mal .... denken oder setzen, kann bei der principiellen Einfachheit des Begriffes der Setzung nicht definirt werden.*' Hier kommt es jedoch weniger auf das Setzen als auf das Imal, 2 mal, 3 mal an. Wenn dies
*) Theorie der complexea Zahlenäysteme, S. l.
iJl>-r I'— ii" --'-tmmwm ^'t 'Sni»M>ln'>
27
(lirfiniit werdeil könnte, .so wurde die Undefiuirbarkeit de« Setzens aus wenig beunrubigen. Leibniz ist geneigt, die Zabl wenigstens annäbernd als adaequate Idee anzusehen, d. h. als eine solcbe, die so deutlich ist, dass alles, was in ihr vorkommt, wieder deutlich ist.
Wenn man im Ganzen mehr dazu neigt, die Anzahl inr nudeiinirbar zu halten, so liegt das wohl mehr au dem ^lisslingen darauf gerieb tcter Versuche als an dem Bestehen der Sache selbst entnommener Gegengründe.
Ist die Anzahl eine Eigenschaft der äusseren Dinge?
§ 21. VersuchiMi wir wenigstens der Anzahl ibre Stelle unter unsern Begriffen anzuweisen! In der Sprache er- scheinen Zahlen meistens in adjectivischer Form und in attributiver Verbindung ähnlich wie die Wörter hart, schwer, roth, welche Eigenschaften der äussjcren Dinge bedeuten. Es liegt die Frage nahe, ob man die einzelnen Zahlen auch so aulfas.sen müsse, und ob demgemäss der Begriff der Anzahl etwa mit dem der Farbe zusammengestellt werden könne.
Dies scheint die Meinung von AI. Cantor*) zu sein, we)in er die Mathematik eine Erfahrungswissenschaft nennt, insofern sie von der Betrachtung von Objecten der Aussen- well ihren Anfang nehme. Nur durch Abstraction von Gegenständen entstehe die Zahl.
E. Schröder**) lässt die Zahl der Wirklichkeit nach- gebildet, aus ihr entnommen werden, indem die Einheiten durch Einer abgebildet würden. Dies nennt er Abstrahiren der Zahl. Bei dieser Abbildung würden die Einheiten nur in Hinsicht ihrer Häutigkeit dai-gestellt, indem von allen
*} Grnudziige einer Elemeatarmathematik, 8. 2, § 4. Aehnlich Lipschitz, Lehrbuch der Aualysii», Bonn 1877, S. 1.
**) Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, Leipz. 1873, S. 6, 10 0.11.
■*"•■■■ 1
28
andern Bestimmungen der Dinge als Farbe, Gestalt ab- gesehen werde. Hier ist Häufigkeit nur ein anderer Ausdruck für Anzahl. Schröder .stellt also Häufigkeit oder Anzahl in eine Linie mit Farbe und Gestalt und betrachtet sie als eine Eigenschaft der Dinge.
§ 22. Bauraann*) verwirlt den Gedanken, dass die Zahlen von den aussein Dingen abgezogene Begriffe seien: „Weil nämlich die äussern Dinge uns keine strengen Ein- heiten darstellen; sie stellen uns abgegränzte Gruppen odei* sinnliche Punkte dar, aber wir haben die Freiheit, diese selber wieder als Vieles zu betrachten**. In der That, während ich nicht im Stande bin, durch blosse Auffassungs- weise die Farbe eines Dinges oder seine Härte im Geringsten zu verändern, kann ich die Jlias als Ein Gedicht, als 24 Ge- sänge oder als eine grosse Anzahl von Versen auffassen. Spricht man nicht in einem ganz andern Sinne von 1000 Blättern als von grünen Blättern des Baumes? Die grüne Farbe legen wir jedem Blatte bei, nicht so die Zahl 1000. Wir können alle Blätter des Baumes unter dem Namen seines Laubes zusammenfassen. Auch dieses ist grün, aber nicht 1000. Wem kommt nun eigentlich die Eigenschaft 1000 zu? Fast scheint es weder dem einzelneu Blatte noch der Gresammtheit; vielleicht gar nicht eigentlich den Dingen der Aussen weit? Wenn ich jemandem einen Stein gebe mit den Worten: bestimme das Gewicht hiervon, so habe ich ihm damit den ganzen Gegenstand seiner Untersuchung gegeben. Wenn ich ihm aber einen Pack Spielkarten in die Hand gebe mit den Worten: bestimme die Anzahl hiervon, so weiss er nicht, ob ich die Zahl der Karten oder der vollständigen Spiele oder etwa der Wertheinheiten beim Skatspiele erfahren will. Damit, dass ich ihm den Pack in die Hand gebe, habe ich ihm den Gegenstand seiner Unter- suchung noch nicht vollständig gegeben; ich muss ein Wort:
*) A. A. 0. Bd. U, S. 669.
29
Karte, Spiel, Wertheiuheit hinzufügen. Man kann auch nicht sagen, dass die verschiedenen Zahlen hier so wie die verschiedeneu Farben weben einander bestehen. Auf die einzelne farbige Fläche kann ich hindeuten, ohne ein Wort zu sagen, nicht so auf die einzelne Zahl. Wenn ich einen Gegenstand mit demselben Rechte grün und roth nennen kann, so ist das ein Zeichen, dass dieser Gegenstand nicht der eigentliche Träger des GrQnen ist. Diesen habe ich erst in einer Fläche^ die nur gifin ist. So ist auch ein Gegenstand, dem ich mit demselben Rechte verschiedene Zahlen zuschreiben kann, nicht der eigentliche Träger einer Zahl.
Ein wesentlicher Unterschied zwischen Farbe und Anzahl besteht demnach darin, dass die blaue Farbe einer Fläche unabhängig von unserer Willkühr zukommt. Sie ist ein Vermögen, gewisse Lichtstrahlen zurückzuwerfen, andera mehr oder weniger zu veischlucken, und daran kann unsere Auffassung nicht das Geringste ändern. Dagegen kann ich nicht sagen, dass dem Pack Spielkarten die Anzahl 1 oder 100 oder irgend eine andere an sich zukomme, sondern höchstens in Bezug auf unsere willkührliche Auffassungsweise, und dann auch nicht so, dass wir ihm die Anzahl einfach als Praedicat beilegen könnten. Was wir ein vollständiges Spiel nennen wollen, ist offenbar eine willkührliche Fest- setzung und der Pack Spielkarten weiss nichts davon. Indem wir ihn aber in dieser Hinsicht betrachten, entdecken wir vielleicht, dass mr ihn zwei vollständige Spiele nennen können. Jemand, der nicht wfisste, was man ein voll- ständiges Spiel nennt, würde wahrscheinlich irgend eine andere Anzahl eher an ihm herausfinden, als grade die Zwei.
§ 23. Die Frage, wem die Zahl als Eigenschaft zu- komme, beantwortet M ill*) so:
„Der Xame einer Zahl bezeichnet eine Eigenschaft, die dem Aggregat von Dingen angehört, welche wir mit
*) A. a. O. m. Bach, XXIV. Cap., § 6.
'^ ' ' ' " •" '• l^.n ■■ ■ 1 .. * I ■ ■> , w. ^ . . — .*. • - , T..^.
t*^
30
dem Namen benennen; nnd diese Eigenschaft ist die charak- toristiscbe AVei.^e. in welcher dns Apgregat zusammengesetzt ist oder in Theile zerlegt werden kann/
Hu»r ist zunächst der bestimmte Artikel in dem Aus- drucke „die chaiakteristisehe Weise/' ein Fehler; denn es giebt sehr verschi^Mlene Weisen, wie man ein Aggregat zerlegen kann, und mau kann nicht sagen, dass Eine allein charaktei istisch wäre. Ein Bündel Stroh kann z. B. so zerlegt werden, dass man alle Halme durchschneidet, oder so, dass man es iu einzelne Halme auflöst, oder so dass man zwei Bündel daraus macht. Ist denn ein Hanfe von hundert Sandkörnern ebenso zusammengesetzt wie ein Bündel von 100 Strohhalmen? und doch hat man dieselbe Zahl. Das Zablwoit „Ein*' in dem Ausdruck ,,Eln Strohhalm-' drückt doch nicht aus, wie dieser Halm aus Zelhn oder aus Molekeln zusammengesetzt ist. Noch mehr Schwierigkeit macht die Zahl 0. Müssen denn die Strohhalme überhaupt ein Bündel bilden^ um gezählt werden zu können? Muss man die Blinden im Deutschen Reiche durchaus in einer Versammlung vereinigen, damit der Ausdruck „Zahl der Blinden im Deutschen Reiche" einen Sinn habe? Sind tausend Weizenkörner, nachdem sie ausgesäet sind, nicht mehr tausend Weizenkörner? Giebt es eigentlich Aggregate von Beweisen eines Lehrsatzes oder von Ereignissen? und doch kann man auch diese zählen. Dabei ist es gleichgilt ig, ob die Ereignisse gleichzeitig oder durch Jahrtausende getrennt sind.
§ 24. Damit kommen wir auf einen andern Grund, die Zahl nicht mit Farbe und Festigkeit zusammenzustellen: die bei weitem grössere Anwendbarkeit.
Mi 11*) meint, die Wahrheit, dass, was aus Theilen zusammengesetzt ist, aus Theilen dieser Theile zusammen- gesetzt ist, sei von allen Naturerscheinungen giltig, weil
"} A. a. O. m. Bach, XXIV. Cap. § &
im T • ■— ■ ' ■ ' '■*'
Hl
alle gezahlt werden künnteu. Aber kann nicht noch weit mehr gezählt werden? Locke*) sagt: „Die Zahl fiudet Anwendung auf ^Menschen, PZngel. Handlungen, Gedanken, jedes Ding, das existirt oder vorgestellt werden kann". Leibniz**) verwirft die Meinung der Scholastiker, dass die Zahl auf unkürperliche Dinge unanwendbar sei, und nennt die Zahl gewisseruiaassen eine unkürperliche Figur, ent- standen aus der Vereinigung irgendwelcher Dinge, z. B. Gottes, eines Engels, eines Menschen, der Bewegung, welche zu- sammen vier sind. Daher, meint er, ist die Zahl etwas ganz Allgemeines und zur Metaph}*sik gehörig. An. euier andern Stelle***) sagt er: „Gewogen kann nicht werden, was nicht Kraft und Vermögen hat; was keine Theile hat, hat demgemäss kein Maass; aber es giebt nichts, was nicht die Zahl zulässt. So ist die Zahl gleichsam die meta- physische Figur".
Es wäre in der That wunderbar, wenn eine, von äussern Dingen abstrahirte Eigenschaft, auf Ereignisse, auf Voi'Stellungen, auf Begriffe ohne Aeuderung des Sinnes übeilragen werden könnte. Es wäre grade so, als ob man von einem schmelzbaren Ereignisse, einer blauen Vorstellung, einem salzigen Begiifte, einem zähen ürtheile reden wollte.
Es ist ungereimt, dass an Unsinnlichem vorkomme, was seiner Natur nach sinnlich ist. Wenn wir eine blaue Fläche sehen, so haben wir einen eigenlhttmlichen Eindruck, der dem AVorte ,.blau" entspricht; und diesen erkennen wir wieder, wenn wii eine andere blaue Fläche ei blicken. Wollten wir annehmen, dass in derselben Wel^e beim Anblick eines Dreiecks etwas Sinnliches dem AVurte „drei" entspräche, so miissten wir dies auch in drei Begriffen wiederfinden; etwas Unsinnliches würde etwas Sinnliches an sich haben.
*) Panmftnn a. a. 0. Bd. I, S. 409. ^*) Ebenda, ß«l. II, S. 56. ***) Ebenda, lid. U, S 2.
32
Man kann wohl zugeben, dass dem Worte ,,dreieckig'^ eine Art sinnlicher Eindi*ücke entspreche, aber man muss dabei dies Wort als Ganzes nehmen. Die Drei darin sehen wir nicht unmittelbar; sondern wir sehen etwas, woran eine geistige Thätigkeit anknüpfen kann, welche zu einem Urtheile führt, in dem die Zahl 3 vorkommt. AVomit nehmen wir denn etwa die Anzahl der Schlussfiguren wahr, die Aristoteles aufstellt? etwa mit den Augen? wir sehen höchstens gewisse Zeichen iur diese Schlussfiguren, nicht sie ' selbst. Wie sollen wir ihre Anzahl seilen können, wenn sie selbst unsichtbar bleiben? Aber, meint man vielleicht, es genügt, die Zeichen zu sehen; deren Zahl ist gleich der Zahl der Schlussfiguren. AV^uher weiss man denn das? Dazu muss man doch schon auf andere Weise die letztere bestimmt haben. Oder ist der Satz „die Anzahl der Schlussfiguren ist vier" nur ein anderer Ausdruck für „die Anzahl der Zeichen der Schlussfiguren ist vier' ? Nein! von den Zeichen soll nichts ausgesagt werden; von den Zeichen will niemand etwas wissen, wenn nicht deren Eigenschaft zugleich eine des Bezeichneten ausdrückt. Da ohne logischen Fehler dasselbe verschiedene Zeichen haben kann, braucht nicht einmal die Zahl der Zeichen mit der des Bezeichneten übereinzustimmen.
§ 25. Während für Mi 11 die Zahl etwas Physikalisches ist, besteht sie für Locke und Leibniz nur in der Idee. In der That sind, wie Mill*) sagt, zwei Aepfel von drei Aepfeln, zwei Pferde von einem Pferd physikalisch ver- schieden, ein davon verschiedenes sichtliches und fühlbares Phänomen'*'*). Aber ist daraus zu schliessen, dass die
♦) A. a. O. III. Buch, XXIV. Cap. § 6.
**) Qenau genomiueu müsäte hinzugefügt werden : subald sie über- haupt eiu Pliäuomeu sind. Weun aber Jemand ein Pferd in Deutschland und eines in Amerika (und sonst keins) hat, so besitzt er zwei Pferde. Diese bilden jedoch kein Phänomen, sondern nur jedes Pferd für sich könnte so genannt werden.
^«»«lii^^M..«. »m —
«.*i ^.pw»-wiB^< ■ <M.iii^ii| W ^■^»fc^üA;^»!'« • ***— *^ ■ ■! "' ■ ■»*.■' !—**'.< y.^t^^Wiy*^^1N>^
88
Zweiheity Dreiheit, etwas Phj'sikalisches ist? Ein Paar Stiefel kanu dieselbe sichtbare und fOhlbare Erscheinung .sein, wie zwei Stiefel. Hier haben wir einen Zahlenunterschied, dem kein physikalischer entspricht; denn zwei und Ein Paar sind keines\vegs dasselbe, wie Mill sonderbarerweise zn glauben scheint. Wie ist es endlich möglich, dass sich zwei Beglitte A'on drei Begriffen physikalisch unterscheiden? So sagt Berkeley'*'): „Es ist zu bemerken, dass die Zahl nichts Fixes und Festgestelltes ist, was realiter in den Dingen selber existirte. Sie ist gänzlich Geschöpf des Geistes, wenn er entweder eine Idee an sich oder eine CombinatioQ von Ideen betrachtet^ der er einen Namen geben will und sie so für eine Einheit gelten lässt. Jenachdem der Geist seine Ideen variirend combinirt, variirt die Einheit, und wie die Einheit so variirt auch die Zahl, welche nur eine Sammlung von Einheiten ist. Ein Fenster = 1 ; ein Haus, in dem viele Fenster sind. = 1 ; viele Häuser machen Eline Stadt aus."
Ist die Zahl etwas Subjectives?
§ 26. In diesem Ged.ankengange kommt man leicht dazu, die Zahl für etwas Subjectives anzusehen. Es scheint die Weise, wie die Zahl in uns entsteht, über ihr Wesen Aufschluss geben zu können. Auf eine ps}'chologische Unter- suchung also wQrde es dann ankommen. In diesem Sinne sagt wohl Lipschitz**):
„AVer über gewisse Dinge einen Ueberblick gewinnen will, der wird mit einem bestimmten Dinge beginnen und innner ein neues Ding den früheren hinzufügen". Dies scheint viel besser darauf zu passen^ wie wir etwa die Anschauung eines Sternbildes erhalten, als auf die Zahlbildung. Die
*) Baniuann a. a. O. Bd. II. S. 428.
**) Lehrbuch der Analystin, S. 1. Icli nehme an, daia Lipschits einen innern Vorgang im Sinne hat.
3
MtMt [i *iM „iii I». .-^j
34
Absicht, einen Ueberblick zu gewinnen, ist unwesentlich; denn man wird kaum sagen können, dass eine Herde libersichth'elier wird, wenn man erfahrt, aus wieviel Häuptern sie besteht.
Eine solche Beschreibung der Innern Voi*gänge, die der Fällung eines Zahlurtheils vorhergehen, kann nie, auch wenn sie zutreffender ist, eine eigentliche Begriflsbestimniung er- setzen. Sie wird nie zum Beweise eines arithmetischen Satzes herangezogen werden können; wir erfahren durch sie keine Eigenschaft der Zahlen. Denn die Zahl ist so wenig ein Gegenstand der Psjxhologie oder ein Ergebnis» psj'chischer Vorgänge, wie es etwa die Nordsee ist. Der Objectivität der Nonlsee thut es keinen Eintrag, dass es von unserer Willkühr abhangt, welchen Theil der allgemeinen Wasser- bedeckung der Erde wir abgrenzen und mit dem Namen „Nordsee" belegen wollen. Das ist kein Grund, dies Meer auf psychologischem Wege erforschen zu wollen. So ist anch die Zahl etwas Objectives. Wenn man sagt „die Noi-dsee ist 10,000 Quadratmeilen gioss," so deutet man weder durch „Nordsee" noch durch „10,000" auf einen Zustand oder Vorgang in seinem Inuein hin, sondern man behauptet etwas gajiz Objectives, was von unsern Vorstellungen und dgl. unabhängig ist. AVenn wir etwa ein ander Mal die Grenzen der Nordsee etwas anders ziehen oder unter „10,000** etwas Anderes verstehen wollten, so würde nicht derselbe Inhalt falsch, der vorher richtig war; sondern an die Stelle eines wahren Inhalts wäi*e vielleicht ein falscher geschoben, wo- durch die Wahrheit jenes ersteren in keiner Weise aufge- hoben wfirde.
Der Botaniker will etwas ebenso Thatsächliches .<^agen, wenn er die Anzahl der Blumenblätter einer Blume, wie wenn er ihie Farbe angiebt. Das eine hangt so wenig wie das andere von unserer Willkiilir ab. Eine gewis.se Aehn- lichkeit der Anzahl und der Farbe ist also da; aber diese besteht nicht darin, dass beide an äusseren Dingen sinnlieh wahrnehnibar, sondern darin, dass beide objectiy sind.
S6
Ich unterscheide das Objective ron dem Handgreiflicheiii Räamlichen, Wirklichen. Die Erdaxe, der Massenmittd- pnnkt des Sonnensj'stenis sind objectiv, aber ich möchte sie nicht wirklich nennen, wie die Ei*de selbst. Man nennt den Aequator oft eine gedachte Linie; aber es wäre falsch, ihn eine erdachte Linie zn nennen; er ist nicht durch Denken entstanden, das Ergebniss eines seelischen Vorgangs, sondern nur durch Denken erkannt, ergriffen. Wäre das Erkanntwerden ein Entstehen, so könnten wir nichts Posi* tives von ihm aussagen in Bezug auf eine Zeit, die diesem vorgeblichen Entstehen vorherginge.
Der Raum gehört nach Kant der Erscheinung an. Ea wslre möglich, dass er andern Vei-nunftwesen sich ganz anders als uns darstellte. Ja, wir können nicht einmal wissen, ob er dem einen Menschen so wie dem andern erscheint; denn wir können die Raumanschauung des einen nicht neben die des andern legen, um sie zu vergleichen. Aber dennoch ist darin etwas Objectives enthalten; Alle erkennen dieselben geometrischen Axiome, wenn auch nur durch die That, an und müssen es, um sich in der Welt zurechtzufinden. Objectiv ist darin das Gesetzmässige, Begriffliche, Beurtheilbare, was sich in Worten ausdrücken lässt. Das rein Anschau* liehe ist nicht mittlieilbar. Nehmen wir zur Verden tlichnng zwei Vernunftwesen an, denen nur die projectivischen Eigen* schatten und Beziehungen anschaulich sind: das Tiiegen von drei Punkten in einer Gerade, von vier Punkten in einer Ebene n. s. w. ; es möge dem einen dsis als Ebene erscheinen, was das andere als Punkt anschaut und umgekehrt. Was dem einen die Verbindungslinie von Punkten ist, möge dem andem die Schnittkante von Ebenen sein u. s. w. immer dualistisch entsprechend. Dann könnten sie sich sehr wohl mit einander verständigen und w*ttrden die Verschiedenlieit ihres Aascliauens nie gewahr werden, weil in der |»rojecti« VLschen Geometrie jedem Lehrsätze ein anderer doalistiacb gegenübersteht ; denn das Abweichen in einer ftslhetischen
>.<ii**l«M[te
•--1.. - ^~- . . . ' -■•!■■* f»i ,m) II iiiteai >
*=*?*-' "-. ' ' 'ffJkmjm^^-^i^m**,^^
86
Werthschätzung würde kein sicheres Zeichen sein. In Bezug auf alle geometrische Lehisätze waren sie völli«; im EiiikLange; sie wQrden sich nur die Wörter in ihre An- schauung verschieden tibersetzen. !Mit dem Wort^ „Punkt** veibände etwa dcas eine diese, das andere jene Anschauung. So kann man immerhin sagen, dass ihnen dies AVort etwas Objectives bedeute; nur darf man unter dieser ßedeulung nicht das Besondere ihrer Anschauung verstehn. Und in diesem Sinne ist auch die Erdaxe objectiv. f
Man denkt gewöhnlich bei ,.weiss^' an eine gewisse Empfindung, die natUilich ganz subjectiv ist ; aber schon im gewöhnlichen Spi-achgebrauche, scheint mir, tritt ein objec- tiver Sinn vielfach hervor. AVenn man den Schnee weiss nennt, so will man eine objective Beschaffenheit ausdrücken, die man beim gewöhnlichen Tageslicht an einer |;ewissen Empfindung erkennt. Wird er farbig beleuchtet, so bringt man das bei der Beurtheilung in Anschlag. Man sagt vielleicht: er erscheint jetzt roth, aber er ist weiss. Auch der Farbenblinde kann von roth und grün reden, obwohl er diese Faiben in dei* Empfindung nicht unterscheidet. Er erkennt den XJnteischied daran, dass Andere ihn machen, oder vielleicht durch einen physikalischen Vei'snch. So be- zeichnet das Farbenwort oft nicht unsere subjective Em- pfindung, von der wir nicht wissen können, dass sie mit der eines Andern tibereinstimmt — denn offenbar verbürgt das die gleiche Benennung keineswegs — sondem eine objective Beschau enheit. So verstehe ich unter Objectivilat eine Tnab- haugigkeit von unsenn Empfinden, Anschauen und Vorstellen, von dem Entwerfen iimerer Bilder aus den Erinnerungen früherer Empfindungen, aber nicht eine Unabhängigkeit von der Vernunft; denn die Frage beantworten, was die Dinge unabhängig von der Vernunft sind, hiesse ortheilen, ohne zu urtheilen, den Pelz waschen, ohne ihn nass zu machen. § 27. Deswegen kann ich auch Schloemilch'*') nicht
*) Handbuch der algebraischen Analysis, S. 1.
87
zustimmen, der die Zalil VorMtelluiig der Stelle eines Object« in einer Keilie nennt*). Wäre die Zahl eine Vurstellnngi so wäre die Arithmetik Pi>}xhoIogie. Das ist sie so Aveuig, wie etwa die Astronomie es ist. Wie sich diese nicht mit den Voi'stellungen der Planeten, sondern mit den Planeten selbst beschärtigt. so ist auch der Gegenstand der Arithmetik keine Vorstellung. Wäre die Zwei eine Vorstellung, so wäre es zunächst nur die meine. Die Voi*stellung eines Andern ist schon als solche eine andere. Wir hätten dann vielleicht viele Millionen Zweien. Man m&sste sagen: meine Zwei, deine Zwei, eine Zwei, alle Zweien. Wenn man latente oder uubewusste Vorstellungen annimmt, so hätte man anch unbewusste Zweien, die dann später wieder bewnsste würden. Mit den heranwachsenden Menschen entständen immer neue Zweien, und wer weiss, ob sie sich nicht in Jahrtausenden so veränderten, dass 2X2 = 5 würde. Trotzdem wäre
*) Kau kann dagegen auch einwenden, dass dann immer dieselbe VorsteUung einer Stelle erscheinen müsste, wenn dieselbe Zahl auftritt, was oflenbar falsch ist. Das Folgende würde nicht zutreffen, wenn er unter Vorstellnng eine objective Idee rersteheu wollte; aber welcher Unterschied wäre dann zwischen der Vorstellnng der Stelle und der Stelle selbst ?
Die Vorstellnng im »«ubjectiven Sinne ist das, worauf sich die psycho* logischen Associationsgesetze beziehen ; sie ist von sinnlicher, bildhafter Beschaffenheit. Die Vorstellnng im objectiven Sinne gehört der Logik an und ist wesentlich unsinnlich, obwohl das Wort, welches eine objectiTe Vorstellung bedeutet, oft auch eine subjective mit sich fUhrt, die jedoch nicht seine Bedeutung ist. Die subjective Vorstellung ist oft nachweisbar verschieden in verschiedenen 3Ienschen. die objective für alle dieselbe. Die objectiven Vorstellungen kann man eintheilen in Gegenstände und Begriffe. Ich werde, um Verwirrung zn vermeiden, «VorsteUung" nur im subjectiven Sinne gebrauchen. Dadurch, dass Kant mit diesem Worte beide Bedeutungen verband, hat er seiner Lehre eine sehr subjectiTe, idealistische Färbung gegeben und das Treffen seiner wahren 3Ieinung erschwert. Die hier gemachte Unterscheidung ist so berechtigt wie die zwischen Psychologie und Logik. Möchte man diese immer recht streng auseinanderbalteii !
MkMU«Ma««aM^h^ki«^hMd
— . ■ .1— ■ ■■„ . . ,.^_
«■■■■
88
es zweifelhaft, ob es, wie maii gewöhnlich meint, nnendlich Tiele Zahlen gäbe. Vielleicht wäre 10"* nnr ein leeres Zeichen, und es gäbe gar keine Vorstellungy in irgendeinem AVesen, die ^o benannt werden könnte.
AVir sehen, zu welchen AVunderlichkeiten es fuhrt, wenn man den Gedanken etwas weiter ausspinnt, dass die Zahl eine Vorstellung sei. Und wir kommen zu dem Schlüsse, dass die Zahl weder räumlich uud physikalisch ist, wie Mills Haufen von Kieselsteinen und Pfeffernüssen, noch auch sub- jectiv wie die Vorstellungen, sondern nnaünnlich und objectiv. Der Grund der Objectivität kann ja nicht iu dem Sinnes- eindinicke liegen, der als Affection unserer Seele ganz sub- jectiv ist, sondern, soweit ich sehe, nur iu der Vernunft.
Es wäre wunderbar, wenn die allerexacteste Wissen- schaft sich auf die noch zu uusicher tastende Psychologie stutzen sollte.
Die Anzahl als Menge.
§ 28. Einige Schriftsteller erklären die Anzahl als eine Menge, Vielheit oder Mehrheit. Bin Uebelstand besteht hierbei darin, dass die Zahlen 0 uud I von dem Begriffe ausgeschlossen werden. Jene Ausdrficke sind recht unbe- stimmt: bald nähern sie sich mehr der Bedeutung von „Haufe," „Ginippe," „Aggregat" — wobei an ein räumliches. Zusammensein gedacht wird — bald werden sie fast gleich- bedeutend mit „Anzahl^ gebraucht, nur unbestimmter. Eine Auseinanderlegung des Begriifes der Anzahl kann darum in einer solchen Erklänmg nicht gefunden werden. Thomae'") verlangt zur Bildung der Zahl, dass verschiedenen Objecten- mengen verschiedene Namen gegeben werden. Damit ist offenbar eine schärfere Bestimmung jeuer Objectenmengen gemeint, fttr welche die Namengebung nur da« äussere Zeichen ist. Welcher Art nun diese Bestimmung sei, das ist die
^) Eu^meutare Theorie der aiialy tischen Functionen, 8. I.
89
Frage. Es würde offenbar die Idee der Zahl nicht entstehen, wenn man für „3 Sterne," „3 Finger," „7 Sterne" Namen einführen wollte, in denen keine gemeinsamen Bestandthefle erkennbar wären. Es kommt nicht darauf an, dass Überhaupt Namen gegeben werden, sondern dass für sich bezeichnet werde, was Zahl daran ist. Dazu ist nöthig, dass es in seiner Besonderheit erkannt sei.
Noch ist folgende Verschiedenheit zn beachten. Einige nennen die Zahl eine Menge von Dingen oder Gegenständen; Andere wie schon Euklid'*'), erklären sie als eme Menge von Einheiten. Dieser Aus(b*uck bedarf einer besondem Erörtemug.
III. Meinungen über Einheit und Eins.
Drückt das Zahlwort „Ein" eine Eigenschaft
Ton Gegenständen aus?
§ 29. In den Definitionen, die Euklid am Anfange des 7. Buches der Elemente giebt, scheint er mit dem Worte „,wWc" bald einen zu zählenden Gegenstand, bald eine Eigenschaft eines solchen, bald die Zahl Eins zu bezeichnen. Ueberall kommt man mit der TJebersetznng ., Einheit" durch, abei' nur, weil dies Wort selbst in diesen verschiedenen Bedeutungen schillert
Schröder'^'*') sagt : „Jedes der zu zählenden Dinge wird Einheit genannt." Es fragt sich, weshalb man die Dinge erst unter den Begriff der Einheit bringt und nicht einfach erkläii: Zahl ist eine ^lenge von Dingen, womit wir wieder auf das Vorige zurückgeworfen wären. Man könnte zunächst in der Benennung der Dinge als Einheiten eine nähere Bestimmung finden wollen, indem man der sprachlichen Form folgend „Ein" als Eigenschaftswort ansieht
*) 7. Buch der Elemente im Anfange : Mov«; ssxi. xaf^' f^v ix«Tc«v Tftiv ovxc*iv tv Xsjcxoi. 'Apt^yio; )s zh ix {lovcfdojv O'JYxtiyitvov icXiJ^^ ^ A. A. 0. & 6w
» 1 1 I > I
'"jy — -— ' -— ■- -— ^ — T"-" " " ic -t*!
40
und yyEine Studt" so außasst wie ., weiser ^laiin". Dann wm*de eine Einheit ein Gegen^itand sein, dem die fiigeni^cliaft „Ein'* zukäme und würde weh zu ,.Ein** äbnlicli verhalten wie „ein AVeiser" zu dem Adjectiv .»weise''. Zu den Gründen, die oben dagegen geltend gemacht sind, dass die Zahl eine Eigenschaft von Dingen sei, treten hier noch einige besondere hinzu. Anftallend wäre zunächst, dass jedes Ding diese Eigenschaft hätte. Es wäre unverständlich, weshalb man übei'haupt noch einem Dinge ausdrücklich die Eigenschaft beilegt. Nur durch die Möglichkeit^ dass etwas nicht weise sei, gewinnt die Behauptung, Solon sei w*eise, einen Sinn. Der Inhalt eines Begilflfes nimmt ab, wenn sein Umfang zunimmt ; wird dieser allumfassend, so muss der Inhalt ganz verloren gehen. Es ist nicht leicht zu denken, wie die Sprache dazu käme, ein Eigenschaftswort zu schaffen, das gar nicht dazu dienen konnte, einen Gegenstand näher zu bestimmen.
Wenn „Ein Mensch!* ähnlich wie „weiser Mensch" aufzufassen wäre, so sollte man denken, dass „Ein'' auch als Traedicat gebraucht werden kömite, sodass man wie ,.8olon war weise" auch sagen könnte ..Solon war Ein** oder „Solon war Einer'^ Wenn nun der letzte Ausdruck auch vorkommen kaim, so ist er doch ffir sich allein nicht verständlich. Er kann z. B. heissen: Solon war ein Weiser, wenn „AVeiser** aus dem Zusammeidiange zu ergänzen ist. Aber allein scheint „Ein'* nicht Praedicat sein zu können*). Noch deutlicher zeigt sich dies beim Plural. Während man ..Solon war weise'* und „Thaies war weise" zusammenziehen kann in ..Solon und Thaies waren weise," kann man nicht sagen ,.Solon und Thaies waren Ein*^ Hierv'on wäre die
♦) Es kouimen Wciulunj^ren vor, die dem zn widersprechen «»clieineii; «biT bei genauerer Betraclitnng wird man finden, dass ein Begriffswort 7.n ergänzen ist, oder dass ^Eiu** nicht als Zahlwort gebrancht wird, dass nicht die Einzigkeit, sondern die Einheitlichkeit behauptet werden soll.
m^ ■■>i«^^
41
Unmögliclikeit niclit einzuselini, wenn „Ein" sowie „weise" eine Eigenscbsift i^owolil des tfolon als anch des Tbales wäre.
§ 30. Uamit hangt es zusammen, dass man keine Definition der Eigenschaft „Ein" hat geben können. Wenn Leibniz^) sagt: „Eines ist, was wir durch Eine Thai des Verstandes zusammenfassen", so erklSil er „Ein" durch sich selbst. Und können wir niclit auch Vieles durch Eine That des Verstandes zusammenfassen? Dies wird von Leibniz an derselben Stelle zugestanden. Aehulich sagt Banroann^: ..Eines ist, was wir als Eines auffassen" und weiter: „Wa« wir als Punkt setzen oder nicht mehr als getheilt setzen wollen, das sehen wir als Eines an; aber jedes Eins der äussern Anschauung, der reinen wie der empirischen, können wir auch als Vieles ansehen. Jede Vorstellung ist Eine, wenn abgegränzt gegen eine andere Vorstellung; aber in sich kann sie wieder in Vieles unterschieden werden." So verwischt sich jede sachliche Begrenzung des Begriffes nnd «illes hangt von unserer Auffassung ab. Wir fragen wieder: welchen Sinn kann es haben, irgendeinem Gegenstande die Eigenschaft „Ein" beizulegen, wenn je nach der Auffassung jeder Einer sein und auch nicht sein kann? Wie kann auf einem so verschwommenen Begiiffe eine Wissenschaft benihen, die grade in der grössten Bestimmtheit und Genauigkeit ihren Ruhm sucht?
§ 31. Obwohl nun Baumann***) deu Begi-iff der Eins auf uinerer Anschauung beruhen lässt, so nennt er doch in der eben angeführten Stelle als Merkmale die Ungetheiltheit und die Abgegränztheit. Wenn diese zuträfen, so wäre zu erwarten, dass auch Thiere eine gewisse Vorstellung von Einheit haben könnten. Ob wohl ein Hund beim Anblick des Mondes eine wenn auch noch so unbestimmte Voi*stellung
*) Baiimanu a. a. O. Bd. II. S. 2; Enlm. 8. 8. ♦♦) A. a. O. Bl. IL a «69. ♦♦♦) A. a. O. Bd. IL S. 669.
-• — •>-•. «.
-A«M
t^tm
irt*
49
von dem hat, was wir mit dem Worte „Ein" bezeichnen? Schwerlich! Und doch unter^ürbeidet er gewiss einzelne Gegen- stände: ein andrer Hund, sein HeiT, ein Stein, mit dem er spielt, ei*scheinen ihm gewiss ebenso abgegi*enzt, flir sich bestehend, ungetheilt wie uns. Zwar wird er einen Unter- schied merken, ob er sich gegen viele Hunde zu vertheidigen hat oder nur gegen Einen, aber dies ist der von Mill physi- kalisch genannte Unterschied. Es käme damnf besonders an, ob er von dem Gemeinsamen, welches wir durch das Wort „Ein'' ausdrücken, ein wenn auch noch so dunkles Bewusst- sein hat z. B. in den Fällen, wo er von Einem grossem Hunde gebissen wird, und wo er Eine Katze verfolgt. Das ist mir unwahrscheinlich. Ich folgere daraus, dass die Idee der Einheit nicht, wie Locke*) meint, dem Vei'standc durch jenes Object draussen und jede Idee innen zugef&hrt, sondern von uns durch die höhern Geisteskräfte erkannt wird, die nns vom Thiere unterscheiden. Dann können solche Eigen- schaften der Dinge wie Ungetheiltheit und Abgegrenztheit, die von den Thieren ebenso gut wie von uns bemerkt werden, nicht das Wesentliche au unserm Begriffe sein«
§ 32. Doch kann man einen gewissen Zusammenhang vermuthen. Darauf deutet die Sprache hin, indem sie von „Ein'' „einig" ableitet. Etwas ist desto mehr geeignet, als besonderer Gegenstand aufgefasst zu werden, je mehr die Unterschiede in ihm gegenüber den Untei^scliieden von der Umgebung zurücktreten, je mehr der innere Zusammenhang den mit der Umgebung überwiegt. So bedeutet „einig" eine Eigenschaft, die dazu veranlasst, etwas in der Auffassung von der Umgebung abzusondern und für sich zu betrachten. Wenn das französische „uui" „eben," .,glatt" heisst, so ist dies so zu erklären. Auch das Wort „Einheit" wird in ähnlicher Weise gebraucht, wenn von politischer Einheit
*) Banmanii a. a. 0. Bd. L 8. 409.
■^i>*^ I ^P ■ ■i»!^* •■»— -•.^- •■».-
- i^ -.SC*. :j - '-" j^..
48
eines Landes, Einheit eines Kunstwerks gesprochen wird*). Aber in diesem Sinne gehört „Einheit" weniger zu ,Ein" als zu „einig'' oder „einheitlich.'^ Denn, wenn man sagt, die Erde habe Einen Mond, so will man diesen damit nicht für einen abgegrenzten, für sich bestehenden, ungetheilten Mond erklären; sondern man sagt dies im Gegensatze zu dem, was bei der Venus, dem Mars oder dem Jupiter vor- kommt. In Bezug auf Abgegrenztheit und Ungetheiltheii könnten sich die Monde des Jupiter wohl mit unserm messen und sind in dem Sinne ebenso einheitlich.
§ 33. Die Uugetheiltheit wird von einigen Schrift- stellern bis zur Untheilbarkeit gesteigert. 6. Kopp**) nennt jedes unzerlegbar und fikr sich bestehend gedachte sinnlich ^ oder nicht sinnlich walu*uehmbare Ding ein Einzelnes und . die zu zählenden Einzelnen Einse, wo offenbar „Eins*' in dem Sinne von „Einheit'^ gebraucht wird. Indem Baumann seine Meinung, die äussern Dinge stellten keine strengen Einheiten dar, damit begriindet, dass wir die Freihdt hätten, sie als Vieles zu betrachten, giebt auch er die Unzerleg- barkeit für ein Merkmal der strengen Einheit aus. Dadurch dass man den innem Zusammenhang bis zum Uubedingti»! steigert, will man offenbar ein Merkmal der Einheit gewinnen, das von der willkührlicheu Auflfassuig unabhängig ist» Dieser Versuch scheitert dai*an, dass dann fast nichts fibrig bliebe, was Einheit genannt und gezählt werden dürfte. Deshalb wild auch sofort der Ruckzug damit angetreteUi dass man nicht die Unzerlegbaikeit selbst, sondern das als unzerlegbar (iedachtwerdeu als Merkmal aufstellt. Damit ist man denn bei der schwankenden Auffassung wieder angekommen. Und wird denn dadurch etwas gewonnen, dass man sich die Sachen anders denkt als sie sind ? Im Gegentheil! aus einer fiilscben
*) Ueber die Geschichte des Wortes «Einbeit** rergl. Ead^es, Oe- scbicbte der pbilosophiscben Terminologie. S. 132—8, S. 186, 8. fOtK
*'^) ScbttUrithmetik. Eisenach 1867. 8. 6 n. 6. .
■*■■■ ■ ■■ 11,1 1,1,^.^. ^
u
Annahme können falsrlie P'olgevungüii fliessen. Wenn man <iher aus der Unzerlegbai keil nichts i>chh'essen wUI, was niitzt sie dann? wenu^man von der Strenge des Begriifes ohne Schaden etwas ablassen kann, ja es sogar muss, woza dann diese Strenge? Aber vielleicht soll man an die Zerlegbarkeit nur nicht denken. Als ob durch Mangel an Denken etwas erreicht werden könnte! Es giebt aber Fälle, wo man gar nicht vermeiden kann, an die Zerlegbarkeit zu denken, wo sogar ein Schluss auf der Zusammensetzung der Einheit beruht, z. B. bei der Aufgabe: Ein Tag hat 24 Stunden, wieviel Stunden haben 3 Tage?
Sind die Einheiten einander gleich?
§ 34. So misslingt denn jeder Versuch, die Eigenschaft ,Ein'' zu erklären, und wir müssen wohl darauf vei*zichten, in der Bezeichnung der Dinge als P^inheiten eine nähere Bestimmung zu seheiu Wir kommen wieder auf unsere Frage zurück : weshalb nennt man die Dinge Einheiten, wenn „Einheit^' nur ein andrer Name für Ding ist, wenn alle Dinge Einheiten sind oder als solche aufgefasst werden können? E. Schröder*) giebt als Grund die den Objecten der Zählung zugeschriebene Gleichheit an. Zunächst ist nicht zu sehen, warum die Wörter .,l)ing'' und „Gegenstand" dies nicht ebenso gut andeuten könnten. Dann fragt es sich: weshalb wird den Gegenständen der Zählung Gleichheit zu- geschrieben ? Wird sie ihnen nur zugeschrieben, oder sind sie wirklich gleich? Jedenfalls sind nie zwei Gegenstände durchaus gleich. Andrerseits kann man w*ohl fast immer eine Hinsicht ausfindig machen, in der zwei Gegenstände übereinstimmen. So sind wir wieder bei der willkührlicben Auffassung angelangt, wenn wir nicht gegen die Wahrheit den Dingen eine weitergehende Gleichheit zuschreiben wollen, als ihnen zukommt. In der That nennen viele Schriftsteller
•) A. ». 0. S. &
45
die Einheiten ohne Einschränkung gleich. Hobbes'*') sagt: „J)ie Zahl, absohit gesagt, setzt in der Mathematik unter sich gleiche Einheiten voraus, aus denen sie hergestellt wird." Hu nie**) hillt die zusannnensetzendcn Theile der Quantität und Zahl fftr ganz gleichaitig. Thoniae***)«nennt ein Indi- viduum der Menge Einheit und sagt: „Die Einheiten sind einander gleich/' Ebenso gut oder vielmehr richtiger könnte man sagen : die Individuen der Menge sind von einander verschieden. Was hat nun diese vorgebliche Gleichheit für die Zahl zu bedeuten? Die Eigenschaften, durch die sich die Dinge unterscheiden, sind für ihre Anzahl etwas Gleich- giltiges und Fremdes. Darum will man sie fern halten. Aber das gelingt in dieser Weise nicht. Wenn man, wie Thomae verlangt, ,,von den Eigenthümlichkeiten der Individuen einer übjectenmenge abstrahirt" oder „bei der Betrachtung getrennt er Dinge von den ^lerkmalen absieht, durch welche sich die Dinge unterscheiden,^* so bleibt nicht, wie Lipschitz meint, „der Begriff der Anzahl der betrachteten Dinge" zurftck, sondern man erhält einen allgemeinen Begriff, unter den jene Dinge fallen. Diese selbst verlieren dadurch nichts von ihren Besonderheiten. Wenn ich z. B. bei der Betrachtung einer weissen und einer schwarzen Katze von den Eigen- schaften absehe, durch die $ie sich unterscheiden, so erlialte ich etwa den Begriff' „Katze". Wenn ich nun auch beide unter diesen Begriff bringe und sie etwa Einheiten nenne, so bleibt die weisse doch immer weiss und die schwarze schwarz. Auch dadurch, dass ich an die Farben nicht denke oder mir vornehme, keine Schlüsse aus deren Verschiedenheit zu ziehen, werden die Katzen nicht farblos und bleiben ebenso verschieden, wie sie waren. Der Begriff „Katze,** der durch
*) Baiimanii a. a. O. Bd. 1. S. 242. ^*) Ebenda Bd. II. S. 56S. ♦♦♦) A. a. O. a 1.
*"■'■"*'•''' '" "' ' '■xi^*— Mi*^*>«i»*—<^* ^ ■'■■»■' i—^w "rw^um «AI» 4
4«
■ » ■ ■ <
die Äbstraction gewonnen ist, enthält zwar die Besondi'r- lieiten nicht mehr, ist aber eben dadurch nur Einer.
§ 35. Durch blos begriifliche Yerfahrungsweisen gelingt es nichty verschiedene Dinge gleich zu machen; gelänge es aber, so hätte man nicht mehr Dinge, sondein nur Ein Ding; denn, wie Descartes*) sagt, die Zahl — besser: die Mehr- zahl — in den Dingen entspringt aus deren Unterscheidung. E. Schröder**) behauptet mit Recht: „Die Anforderung Dinge zu zählen kann vernünftiger Weise nur gestellt werden, wo solche Gegenstände vorliegen, welche deutlich von einander unteii$cheidbar z. B. räumlich und zeitlich getrennt und gegen einander abgegrenzt erscheinen." In der That erschwert zuweilen die zu grosse Aehnlichkeit z. B. der Stäbe eines Gitters die Zählung. Mit besonderer Schärfe drückt sich W. Stanley .Tevons***) in diesem Sinne aus: „Zahl ist nur ein andrer Name für Verschiedenheit. Genaue Identität ist Einheit, und mit Verschiedenheit entsteht Mehrheit." Und weiter (S. 157): „Es ist oft gesagt, dass Einheiten Einheiten sind, insofern sie einander vollkommen gleichen; aber, obwohl sie in einigen Rücksichten vollkommen gleich sein mögen, müssen sie mindestens in Einem Punkte ver- schieden sein ; sonst wäre der Begriff der Mehrheit auf sie unanwendbar. Wenn drei lülünzen so gleich wären, djiss .sie denselben Raum zu dei^elben Zeit einnähmen, so wären sie nicht drei Münzen, sondern Eine Münze^"
§ 36. Aber es zeigt sich bald, dass die Ansicht von der Vei-schiedenheit der Einheiten auf neue Schwierigkeiten stosst. Jevons erklärt: „Eine Einheit (unit) ist irgendein Gegenstand des Denkens, der von irgendeinem andern Gegen- stande unterschieden werden kann, der als Einheit in der- selben Aufgabe behandelt wird." Hier ist Einheit durch
*) Baumann a. a. O. M. L S. 103. ^) A. a. O. S. 8. ^**) Tbe prindples of Scienca, 8 d. Ed. S. IM.
1 t r
47
sicL selbst erklärt und der Zusatz ,,der von irgendeinem andern Gegenstande uuterscliieden wei-den kann'' enthält keine nähere Bestimmung, weil er selbst vei*stilndlich ist. Wir nennen den Gegenstand eben nur darum einen andern, weil wir ihn vom ersten untersclieiden können. Jevons*") sagt ferner: ».Wenn ich das S^'mbcd 3 schreilie, meine ich eigentlich
1 + 1 + 1 + 1 + 1 und es Lst vollkommen klar, dass jnle dieser Einheiten von jeder andern verschieden ist. Wenn erfoiilerlich, kann ich sie so bezeichnen:
1^ + l'' + 1"' + r"' + 1""^" Gewiss ist es eiforderlich, sie verschieden zu bezeichnen, wenn sie verschieden sind; sonst würde ja die grSsste Ver- wirrung entstehen. Wenn schon die verschiedene Stelle, an der die Eins erschiene, eine Verschiedenheil bedeuten sollte, so müsste das als ausnahmslose Regel hingestellt wenlen, weil man sonst nie wDsste, ob 1 + 1 2 bedeuten solle oder 1. Dann müsste mau die Gleichung 1 = 1 verwerfen und wäre in der Verlegenheit, nie dasselbe Ding zum zweiten Male bezeiclinen zu können. Das geht offenbar nicht an. Wenn man aber verschiedenen Dingen verschiedene Zeichen geben will, so ist nicht einzusehen, weshalb man in diesen noch einen gemeinsamen Bestandtheil festhalt und nicht lieber statt y i y^ i y,^ i jw^ i y,,^
schreibt
a + b + c + d + e.
Die Gleichheit ist doch nun einmal verloren gegangen,
und die Andeutung einer gewissen Aehnlichkeit nQtzt nichts.
So zerrinnt un.s die Eins unter den Händen; wir behalten
die Gegenstände mit allen ihren Besonderheiten. Diese Zeichen
sind ein spi*echender Ausdruck fär die Vei legenheit : wir
*) A. a. O. S. 1C2.
mim^mmt
48
haben die Gleichheit nötliig ; deshalb die 1 ; wir haben die Verscliiedenheit nöthig; deshalb die Indices, die nur leider die (Tleichheit wieder anflieben.
§ 37. Bei andern Schriftstellern stossen wir auf die- selbe Schwierigkeit. Locke*) sagt: ,,I)urch Wiederholung der Idee einer Einheit und Uinzufügung derselben zu einer andern Einheit machen wir demnach eine collective Idee, die durch das Wort „zwei" bezeichnet wird. Und wer das thun und so weitergehen kann, immer noch Eins hinzufi\gend zu der letzten collectiven Idee, die er von einer Zahl hatte^ und ihr einen Xamen geben kann, der kann zählen.^' Leibniz**) detinirt Zahl als 1 und 1 und 1 oder als Einheiten. Hesse***) sagt: ,.Wenn man sich eine Vorstellung machen kann' von der Einheit, die in der Algebra mit dem Zeichen 1 ausge- drückt wird, .... so kann man sich auch eine zweite gleichberechtigte Einheit denken und weitere derselben Art. Die Vereinigung der zweiten mit der ersten zu einem Ganzen giebt die Zahl 2".
Hier ist auf die Beziehung zu achten, in der die Be- deutungen der Wörter „Einheit'* und j.Eins** zu einander stehen. Leibniz versteht unter Einheit einen Begriff, unter den die Eins und die Eins und die Eins fallen, wie er denn auch S2)gt: „Das Abstracte von Eins ist die Einheit.*^ Locke und Hesse scheinen Einheit und Eins gleichbedeutend zu gebrauchen. Im Grunde thut dies wohl auch Leibniz; denn indem er die einzelnen Gegenstände, die unter den Begrifi* der Einheit fallen, sämmtlich Eins nennt, bezeichnet er mit diesem Worte nicht den einzelnen Gegenstand, sondern den Begriif, unter den sie fallen.
§ 38. l^m nicht Verwirrung einreissen zu lassen, wird es jedoch gut sein, einen Unterschied zwischen Einheit
*) Baniuauu a. a. O. Bd. 1. S. 409-411. *^) Bauiuaun a. a. O. Bd. 11. S. 3. ♦♦♦; Vier Spetiea. S. 2.
. «* ft m^ .» m^m
49
und Eins streng aufrecht zu erhalten. Man sagt ^^die ZaM Eins'* und deutet mit dem bestimmten Ai-tikel einen be- stimmten, einzelnen Gegenstand der >vissenschaftlichen For- schung an. Es giebt nicht verschiedene Zahlen Eins, sondern nur Eine. Wir haben in 1 einen Eigennamen, der als solcher trines Plurals ebenso unfähig ist wie ,,Fiiedrich der Grosse'^ oder ,.das chemische Element Gold.'* Es ist nicht Znfall und nicht eine ungenaue Bezeichnungsweise^ dass man 1 ohne unterscheidende Striche schreibt. Die Gleichung
3 — 2 = 1 wih'de St. Jevons etwa so wiedei-geben :
(1' + r' + 1''0 — (1" + l'^O = 1' Was wttrde aber das Ergebuiss von
(V + V + 1"0 — (1"" + r'^'O sein? Jedenfalls nicht V. Daraus geht hervor, dass es nach seiner Auöassung nicht nur verschieilene Einsen, sondern audi verschiedene Zweien n. s. w. geben wtinle; denn 1''+ 1"' könnte nicht durch 1"" -|- T"'' vertreten weitlen. Man sieht Iiieiaus recht deutlich, dass die Zahl nicht eine Anhäufung von Dingen ist. Die Arithmetik würde aufgehoben werden, wollte man statt der Eins, die immer dieselbe ist, vei*schiedene Dinge einführen, wenn auch in noch so ähnlichen Zeichen; gleich durften sie ja ohne Fehler nicht sein. Man kann doch nicht annehmen, dass das tiefste Hetlürfniss der Arith- metik eine fehlerhafte Schreibung sei. Daium ist es nn* müglich 1 als Zeichen für verschiedene Gegenstände anzu* sehen, wie Island. Aldebaran. Solon u. dgl. Am gi-eifbarsten wird der Unsinn, wenn man an den Fall denkt, dass eine Gleichung drei AVurzeln hat, nämlich 2 und 5 und 4. Schrabt nmn nun nach Jevons fär 3.
V + V + 1% so würde V hier 2, V 5 und V" 4 bedeuten, wenn man unter 1% V% V" Einheiten und folglich nach Jevons die hier vorliegenden Gegenstände des Denkens vei-steht. Wäre es dann nicht verständlicher für r -}- ^" -Y ^"' <u schreiben
■ f— - .
50
a + 5 + 4 ?
Ein Plural ist uur von Begriffswörtern möglich. AVenn man also von .^Einheiten'* spricht, so kann man dies Wort nicht gleichbedeutend mit dem Eigennamen ^^Bins'^ gebrauchen, sondern als Begiiffswort. Wenn ,,Einbeit'^ ,,zu zählender Gegenstand'' bedeutet, so kann man nicht Zahl als Einheiten definiren. Wenn man unter ,,Einheit*^ einen Begriff versteht, der die Eins und nur diese unter sich fasst, so hat ein Plural keinen Sinn, und es ist wieder unmöglich, mit Leibniz Zahl als Einheiten oder als 1 und 1 und 1 zu definiren. Wenn man das .,uud'' so gebraucht wie in ,,Bunsen und Kirchhof/^ so ist 1 und 1 und 1 nicht 3, sondern 1^ sowie Gold und Gold und Gold nie etwas anderes als Gold ist. Das Pluszeichen in
1 + 1 + 1 = 8 muss also anders als das ..umV aufgefasst werden, das eine Sammlung, eine „collective Idee/' bezeichnen hilft.
§ 39. Wir stehen demnacth vor folgender Schwierigkeit:
AVenn wir die Zahl durch Zusammenfassung von ver- schiedenen Gegenständen entstehen lassen wollen, so erhalten wir eine Anhäufung, in der die Gegenstände mit eben den Eigenschaften enthalten sind, durch die sie sich unterscheiden, und das ist nicht die Zahl. Wenn wir die Zahl andrerseits durch Zusammenfassung von Gleichem bilden wollen, so fliesst dies immerfort in eins zusammen, und wir kommen nie zu einer Mehrheit.
Wenn wir mit 1 jeden der zu zählenden Gegenstände bezeichnen, so ist das ein Fehler, weil Verschiedenes dasselbe Zeichen erhält. Versehen wir die 1 mit unterscheidenden Strichen, so wird sie für die Arithmetik unbi-auchbar.
Das AVort „Einheit** ist vortrefiSich geeignet, diese Schwierigkeit zu verhüllen; und das ist der — wenn auch unbewusste — Grund, warum mau es den AVörtem „Gegen- stand*' und „Ding** vorzieht. Man nennt zunächst die zu zählenden Dinge Einheiten, wobei die Verschiedenheit ihr
• •• . ^•. V» *• — «*■ '
61
Recbt erhalt ; dann geht die Znsammenfassung, Sammlang, Vereinigung. Hinzufügung, oder wie man es sonst nennett will, in den Begiiflf der arithmetischen Addition fiber und das Begriflfswort ,,Kinheit'* verwandelt sich unvermerkt in den Eigennamen ,,Rins*\ Damit hat mau dann die Gleichheit. Wenn ich an den Buchstaben u ein n und dai*an ein d fUgay so sieht jeder leicht ein, dass das nicht die Zahl 8 ist. Wenn ich aber u, n und d unter den Begriff „Einheit^ bringe und nun f&r ,.ii und ii und d'^ sage ..eine Einheit und eine Einheit und noch eine Einheit^' oder „1 und 1 nnd 1*', so glaubt man leicht damit die 3 zu haben. Die Schwierigkeit wiixl durch das Wort „Einheit" so gut ver- steckt, dass gewiss nur wenige Menschen eine Ahnung von ihr haben.
Hier könnte Mill mit Recht tadelnd von einem kunst- fertigen Handhaben der Sprache reden; denn hier ist es nicht die äussere Erscheinung eines Denkvorganges, sondern es spiegelt einen solchen nur vor. Hier hat man in der That den Eindnick, als ob den von Gedanken leeren Worten eine gewisse geheimnissvolle Kraft beigelegt werde, wenn Verschiedenes blos dadurch, dass man es Einheit nennt, gleich werden soll.
Versuche, die Schwierigkeit zu fiberwinden.
§ 40. Wir betrachten nun einige AusfAhinngen, die sich als Versuche zur Ueberwindung dieser Schwierigkeit darstellen ; wenn sie aiuch wolil nicht immer mit klarem Re- wnsstsein in dieser Absicht gemaclit sind.
Man kann zunäciist eine Eigenschaft des Raumes nnd der Zeit zu Hilfe rufen. Ein Ranmpunkt ist nämlich von einem andern, eine Gerade oder Ebene von einer andern, congiuente Korper. Flächen- oder LinienstQcke von einander, tlir sich allein betrachtet^ gar nicht zu unterscheiden, sondern nur in ihrem Zusammensein als Bestandtheile einer
4*
' * ■■*»'- »-■^'>.Ji..ll ■ — - . _ . .
62
anscliauung. So sdieint sich hier Gleichheit mit Unterscheid- barkeit zu vereine«. Aehuliches gilt von der Zeit. Daher meint wohl Hobbes,'*') dass die Gleichheit der Einheiten anders als durch Theilung des Oontinuums entstehe^ kOnue kaum gedacht werden. Thomae**) sagt: „Stellt man eine Menge von Individuen oder Einheiten im Räume vor und zählt man sie successive. w*ozu Zeit eifoitlerlich ist. so bleibt bei aller Abstractiou als unterscheidendes Merkmal der Ein- heiten noch ihre verschiedene Stellung im Baume und ihre verschiedene Aufeinanderfolge in der Zeit übrig."
Zunächst erhebt sich das Bedenken gegen eine solche Auffassungs weise, dass dann das Zählbare auf das Räumliche und Zeitliche beschränkt wäre. Schon Leibniz***) weist die Meinung der^Scholastiker zurfick, die Zahl entstehe aus der blossen Theilung des Continuums und könne nicht auf unkörperliche Dinge angewandt werden. Baumann f) betont die Unabhängigkeit von Zahl und Zeit. Der Begriff der Einheit sei auch ohne die Zeit denkbar. St. Jevonsff) sagt : ;.Drei Münzen sind drei Münzen, ob wir sie nun nach einander zählen oder sie alle zugleich betrachten. In vielen Fällen ist weder Zeit noch Raum dei' Grund des Unterschiedes, sondern allein Qualität. AVir können Gewicht, Trägheit und Härte des Goldes als drei Eigenschaften auffassen, ob- gleich keine von diesen vor noch nach der andern ist weder im Raum noch in der Zeit Jedes Mittel der Unterscheidung kann eine Quelle der Vielheit sein." Ich füge hinzu: wenn die gezählten Gegenstände nicht wirklich auf einander folgen, sondern nur nach einander gezählt werden, so kann die Zeit nicht der Grund der Unterscheidung sein. Denn, um sie nach einander zählen zu können, müssen wir schon
*) Banmauu a. a. O. Bd. I. S 242.
**) Elementare Theorie der niialyt. Functionen, S. 1. ♦♦♦) Baumann a. a. O. Bd. 11. S. 2.
t) A. a. O. Bd. II. 8. CG8. tt; ^1^« Principles of Science, S. 167.
M llfc I»
unterschefdende Kennzeichen haben. Die Zeit ist nur ein psychologisches Erforderniss zum Zählen, hat aber mit dem Begriflfe der Zahl nichts zu thun. Wenn man unräumliche und unzeitliche Gegenstände durch Raum oder Zeitpunkte vertreten lässt. so kann dies vielleicht für die Ausführung der Zählung vortheilhaft sein ; grundj^ätzlich wird aber dabei die Anwendbarkeit des Zahlbegrift'es auf Unräumliches und Unzeitliches vorausgesetzt.
§ 41. Wii-d denn aber der Zweck der Vereinigung von Untei*scheidbarkeit und Gleichheit wirklich erreicht, wenn wir von allen unterscheidenden Kennzeichen ausser den räumlichen und zeitlichen absehen? Nein! Wir sind der Lösung nicht um Einen Schritt nüher gekommen. Die grössere oder geringere Aehnlichkeii der Gegenstände thut nichts zur Sache, wenn sie doch zuletzt aus einander gehalten werden müssen. Ich daif die einzelnen Punkte, Linien u. s. f. hier ebenso wenig alle mit 1 bezeichnen, als ich sie bei geometrischen Betrachtungen sämmtlich A nennen darf; denn hier wie dort ist es nuthig, ^ie zu unterscheiden. Nur f&r sich, ohne Rücksicht auf ihre räumlichen Beziehungen sind die Raumpunkte einander gleich. »Soll ich sie aber zusammen- fassen, so muss ich sie in ihrem räumlichen Zusammensein betrachten, sonst schmelzen sie unrettbar in Einem zusammen. Punkte stellen in ihi*er Gesammtheit vielleicht irgendeine -steiTibildartige Figur vor oder sind irgendwie auf einer Ge- raden angeordnet, gleiche Strecken bilden vielleicht mit den Endpunkten zusammenstossend eine einzige Strecke oder liegen getrennt von einander. Die so entstehenden Gebilde können fi\r dieselbe Zahl ganz verschieden sein. So würden wir auch liier verschiedene Fünfen, Sechsen u. s. w. haben. Die Zeitpunkte sind durch kurze oder lange, gleiche oder ungleiche Zwischenzeiten geti*ennt. Alles dies sind Ver* hältnisse, die mit der Zahl an sich gar nichts zu thun haben. Ueberall mischt sich etwas Besonderes ein, worüber die Zahl in ihrer Allgemeinheit weit erhaben ist. Sogar ein
■Mk*
"*■" ** ' ■ ' *— --^ " !■ III t._ _
54
einzelner Moment hat etwas Eigeiithümliches, wodurch er sieb etwa von einem RaumpunktB unterscheidet, und wovon nichts in dem Zahlbegriffe vorkommt.
§ 42. Auch der Ausweg, räumliche und zeitliche An- ordnung durch einen allgemeinem Reihenbegriff zu ersetzen, fährt nicht zum Ziele; denn die Stelle in der Reihe kann nicht der Grund des Unterscheidens der Gegenstände sein, weil diese schon irgeudworan unterschieden sein mfissen, um in eine Reihe geordnet werden zu können. Eine solche Anordnung setzt immer Beziehungen zwischen den Gegen- ständen voraus, seien es nun räumliche oder zeitliche oder logische oder Tonintervalle oder welche sonst, durch die man sich* von einem zum andern leiten lässt, und die mit deinen Unterscheidung nothwendig verbunden sind.
Wenn Hankel*^) ein Object 1 mal, 2 mal, 3 mal denken oder setzen lässt, so scheint auch dies ein Versuch zu sein, die Unterscheidbarkeit mit der Gleichheit des zu Zählenden zu vereinen. Aber man sieht auch sofort, dass es kein ge* lungener ist; denn diese Vorstellungen oder Anschauungen desselben Geginstaudes müssen, um nicht in Eine zusammen- zufliessen, irgendwie verschieden sein. Ich meine auch, dass man berechtigt ist, von 45 Millionen Deutschen zu sprechen, ohne vorher 45 Millionen mal einen Normal* Deutschen gedacht oder gesetzt zu haben ; das möchte etwas umständlich sein.
§ 43. A\'ahi*scheinlich um die Schwierigkeiten zu ver- meiden, die sich ergeben, wenn man mit St Jevons jedes Zeichen 1 einen der gezählten Gegenstände bedeuten lässt, will £. Schröder dadurch einen Gegenstand nur abbilden. Die Folge ist, dass er nur das Zahlzeichen, nicht die Zahl erklärt. Er sagt nämlich**): „Um nun ein Zeichen zu erhalten, welches fähig ist auszudri\cken, wieviele jener
*) Theorie der complexeu ZahlensyKteme, S. 1. **) Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, 8. 6 ff.
I «M 'tetflMH
55
Einheiten'*') vorhanden sind, richtet man die Aufmerksamkeit der Reihe nach einmal auf eine jede derselben und bfldet sie mit einem Strich: 1 (eine Eins, ein Einer) ab; diese Einer setzt man tu eine Zeile neben einander, verbindet sie jedoch unter sich durch das Zeichen 4~ (l>lu^)f da sonst zum Beispiel 111 nach der gewöhnlichen Zahlenbezeichnnng als einhundert und elf gelesen wiirde. 2ilan erhält auf diese Weise ein Zeichen wie:
1 + 1-1-1 + 1 + 1, dessen Zusammensetzung man dadurch beschreiben kann,
dass man sagt :
„Eine natürliche Zahl ist eine Summe von Einern.'*
Hieraus sieht man, dass für Schröder die Zahl ein Zeichen ist. Was durch dies Zeichen ausgedruckt wird, das, was ich bisher Zahl genannt habe, setzt er mit den Worten „wieviele jener Einheiten vorhanden sind'* als bekannt voraus. Auch unter dem Worte „Eins** versteht er das Zeichen 1, nicht dessen Bedeutung. . Das Zeichen + dient ihm zunächst nur als äusserliches Verbindungsmittel ohne eignen Inhalt; erst später wird die Addition erklärt Er hätte wohl kiiizer so sagen können : man schreibt ebeusoviele Zeichen 1 neben einander, als man zu zählende Gegenstände hat, und verbindet sie durch das Zeichen + • Die Null würde dadurch auszudrücken sein, dass man nichts hinschreibt.
§ 44. Um nicht die unterscheidenden Kennzeichen der Dinge in die Zahl niitauizunehmen, sagt St. Jevons**):
„Es wird jetzt w^enig schwierig sein, eine klare Vor- stellung von der Zahlen-Abstraction zu bilden. Sie besteht im Abstrahireu von dem Charakter der Verschiedenheit, aus der Vielheit entspringt, indem man lediglich ihr Vor* haudensein beibehält. Wenn ich von drei Männern spreche.
*) sa zäblenden Gegenstände. ♦♦) A. a. O. 8. 158.
■•* "- — ■ll.l.« rfl HMtl>^^^»»fa
66
so brauche ich nicht gleich die Keunzeichen einzeln anzu- geben, an denen man jeden von ilmen von jedem unter- scheiden kann. Diese Kennzeichen müssen vorhanden sein, wenn sie wirklicli drei Männer und nicht ein und dei*selbe sind, und indem ich von ihnen als von vielen rede, behaupte ich damit zugleich das Vorhandensein der erforderlichen Unterschiede. Uubenannte Zahl ist also die leere Form der Verschiedenheit*'
AVie ist das zu verstehn ? Man kann entweder von den unterscheidenden Eigenschaften der Dinge abstrahiren, bevor man sie zu einem Ganzen vereinigt; oder man kann erst ein Ganzes bilden und dann von der Art der Unterschiede abstrahiren. Auf dem ersten Wege wftrden wir gar nicht zur Unterscheidung der Dinge kommen und also auch das Vorhandensein der Unterschiede nicht festhalten können ; den zweiten Weg scheint Jevons zu meinen. Aber ich glaube nicht, dass wir so die Zahl 10000 gewinnen wfirden, weil wir nicht im Staude sind, so viele Unterschiede gleich- zeitig aufzufassen und ihr Voihaudenseiu festzuhalteu ; denn, wenn es nach einander geschähe, so wi'irde die Zahl nie fertig werden. Wir zählen zwar in der Zeit ; aber dadurch gewinnen wir nicht die Zahl, sondern bestimmen sie nur. Uebrigens ist die Angabe der Weise des Abstrahirens keine Definition.
AVas soll mau sich unter der „leeren Form der Ver- schiedeuheit*" denken? etwa einen »Satz wie
„d ist verschieden von b**, wobei a und b unbestimmt bleiben? Wäre dieser Satz etwa die Zahl 2 ? Ist der Satz
,,die Erde hat zwei Pole" gleichbedeutend mit
„der Xordpol ist vom Südpol verschieden" ? Ottenbar nicht. Der zweite Satz könnte ohne den ersten und dieser ohne jenen bestehen. Für die Zahl 1000 wfirden wir dann
«M<1
67
1000 . 999 1.2 solche. Sätze haben, die eine Verschiedenheit ausdrücken.
Was Jevons sagt, passt insbesondere gar nicht auf die 0 und die 1. AVovon soll man eigentlich abstrahlren, um z. H. vom Monde auf die Zahl 1 zu kommen ? Durch Abstrahiren erhält man wohl die Begriffe: Begleiter der Erde, Begleiter eines Planeten, Himmelskörper ohne eignes Liclit, Himmelskörper, Körper, Gegenstand; aber die 1 ist in dieser Reihe nicht anzutreffen; denn sie ist kein Begriff, unter den der Mond fallen könnte. Bei der 0 hat man gar nicht einmal einen Gegenstand, von dem bei der Abstraction auszugehen wäre. Man wende nicht ein, dass 0 und 1 nicht Zahlen in demselben Sinne seien wie 2 und 3! Die Zahl. antwoitet auf die Frage wieviel? und wenn man z. B. fragt: wieviel Monde hat dieser Planet ? so kann man sich ebenso gut auf die Antwort 0 oder 1 wie 2 oder 3 gefasst machen, ohne dass der Sinn der Frage ein andrer wird. Zwar hat die Zahl 0 etwas Besonderes und ebenso die 1, aber das gilt im Grunde von jeder ganzen Zahl ; nur fällt es bei dsn grösseieu immer weniger in die Augen. Es ist durchaas Avillkülirlich; hier einen Artunterschied zu machen. AVas nicht auf 0 oder 1 passt, kann für den Begriff der Zahl nicht wesentlich sein.
li^ndlich wird durch die Annahme dieser Entst^hungs-
weise der Zahl die Schwierigkeit gar nicht gehoben, auf
die wir bei der Betrachtung der Bezeichnung
j/ 4- 1" -|- \*** -i- y^** -{- 2'^'^'
tür 5 gestosseu sind. Diese Schreibung steht gut im Ein- klänge mit dem, was Jevons ilber die zahlenbildende Ah* >:traction sagt; die obern Striche deuten nämlich an, dass eine Vei-schiedenheit da ist, ohne jedoch ihre Art anzugeben. Aber das blosse Bestehen der Verschiedenheit genflgt schon, wie wir gesehen haben, um bei der Je von ansehen Auf- fassung verschiedene Einseu, Zweien, Dreien hervorzubiingen.
■J-i.M . .^Xl
68
was mit dem Bestände der Arithmetik durchaus unver- träglich ist.
Lösung der Schwierigkeit.
§ 45. Ueberblicken wir nun das bisher von uns Fest- gestellte und die noch unbeantwortet gebliebenen Fragen!
Die Zahl ist nicht in der Weise wie Farbe, Gewicht, Hart« von den Dingen absti*ahirt; ist nicht in dem Sinne wie diese Eigenschaft der Dinge. Es blieb noch die Frage, von wem durch eine Zahlangabe etwas ausgesagt werde.
Die Zahl ist nichts Physikalisches, aber auch nichts Subjectives, keine Vorstellung.
Die Zahl entsteht nicht durch Hinzutfigung von Ding zu Ding. Auch die Namengebung nach jeder Hinzufügung ändert darin nichts.
Die Ausdrucke „Vielheit," „Menge,** „Mehrheit" sind wegen ihrer Unbestimmtheit ungeeignet, zur Erklärung der Zahl zu dienen.
In Bezug auf Eins und Einheit blieb die Frage, wie die Willkiihr der AuiTassung zu beschränken sei, die jeden Unterschied zwischen Einem und Vielen zu verwischen schien.
Die Abgegrenztheit, die Uugetheiltheit, die Unzerleg- barkeit sind keine brauchbaren Merkmale für das, was wir durch das Wort „Ein" ausdrücken.
Wenn man die zu zählenden Dinge Eiidieiten nennt, so ist die unbedingte Behauptung, dass die Einheiten gleich seien, falsch. Dass sie in gewisser Hinsicht gleich sind, ist zwar richtig aber werthlos. Die Verschiedenheit der zu zählenden Dinge ist sogar nothwendig, wenn die Zahl grösser als l wenlen soll.
So schien es, dass wir den Einheiten zwei wider- sprechende Eigenschaften beilegen müsst^n: die Gleichheit und die Untei*scheidbarkeit.
Es ist ein Unterachied zwischen Eins und Einheit zu machen. Das Wort „Eins" ist als Eigenname eines Gegen-
69
.Standes der mathematischen Forschung eines Plurals unfähig. Es ist also sinnlos, Zahlen durch Zusammenfassen von Einsen entstehen zu lassen. Das Pluszeichen in 1 -)- 1 = 9 kann nicht eine solche Zusammenfassung bedeuten.
§ 4f). Um Licht in die Sache zu bringen, wird es gut sein, die Zahl im Zusammenhange eines Urtheils zu betrachten, wo ihre ursprungliche Anwendungsweise hervor- tritt. AVeim ich in Ansehung derselben äussern Erscheinung mit derselben Wahrheit sagen kann: „dies ist eine Banm- gruppe^' und „dies sind fünf Bäume'' oder ,yhier sind vier Compagnien'' und „hier sind 500 Mann/' so ändert sieh dabei weder das Einzelne noch das Ganze, das Aggregat» sondern meine Benennung. Das ist aber nur das Zeichen der Ersetzung eines Begiittes durch einen andern. Damit wird uns als Antwort auf die erste Frage des vorigen Para- graphen nahe gelegt, dass die Zahlangabe eine Aussage von einem Begriffe enthalte. Am deutlichsten ist dies vielleicht bei der Zahl 0. AVenn ich sage : „die Venus hat 0 Mondef^ so ist gar kein Mond oder Aggtegat von Monden da, von dem etwas ausgesagt werden könnte; aber dem Begriffe ., Venusmond'* wird dadurch eine Eigenschaft beigelegt, nämlich die, nichts unter sich zu befassen. Wenn ich sage: „der Wagen des Kaisers wird von vier Pferden gezogen,** so lege ich die Zahl vier dem Begriffe „Pferd, das den Wagen des Kaisers zieht," bei.
Man mag einwenden, dass ein Begriff wie z. B. „An- gehöriger des deutschen Reiches/' obwohl seine Merkmale unverändert bleiben, eine von Jahr zu Jahr wechselnde Eigenschaft haben wttrde, wenn die Zahlangabe eine solche von ihm aussagte. Man kann dagegen geltend machen, dass auch Gegenstünde ihre Eigenschaften ändeni. was nicht verhindere, sie als dieselben anznerkennen. Hier lässt sich aber der Grund noch genauer angeben. Der Begi*iff „Ange- höriger des deutschen Reiches'^ enthält nämlich die Zeit als veränderlichen Bestandtheil, oder, um mich mathematisch
ri*^*fl«ttrs4ae. j. •*•*-»
eo
auszudrucken, ist eine Function der Zeit. Für y,a ist ein Angehöriger des deutschen Reiches'^ kann man sagen: „a gehört dem deutschen Reiclie an'^ und dies bezieht sich auf den gerade gegenwärtigen Zeitpunkt So ist also in dem Begriffe selbst schon etwas Fliessendes. DagegeQ kommt dem Begriffe ,. Angehöriger des deutschen Reiches zu Jahresanfang 1883 berliner Zeit'' in alle Ewigkeit dieselbe Zahl zu.
«
§ 47. Dass eine Zahlangabe etwas Thatsächliches von unserer Auffassung Unabhängiges ausdrückt, kann nur den Wunder nehmen, welcher den Begriff für etwas Subjectives gleich der Vorstellung hält. Aber diese Ansicht ist falsch. Wenn wir z. B. den Begi-iff des Körpers dem des Schweren oder den des AVallfisches dem des Säugethiers unterordnen, so behaupten wir damit etwas Objectives. Wenn nun die Begriffe subjectiv wären, so wäre auch die Unterordnung des einen unter den andern als Beziehung zwischen ihnen etwas Subjectives wie eine Beziehung zwischen Vorstellungen. Freilich auf den ersten Blick scheint der Satz
„alle Walliische sind Säugethiere^'
von Thieren, nicht von Begriffen zu handeln ; aber, wenn man fragt, von welchem Thiere denn die Rede sei, so kann man kein einziges aufweisen. Gesetzt, es liege ein Wallfisch vor, so behauptet doch von diesem unser Satz nichts. Man könnte aus ihm nicht schliessen, das vorliegende Thier sei ein Säugethier, ohne den Satz hinzuzunehmen, dass es ein Wallfisch ist, wovon unser Satz nichts enthält. Ueberhaupt ist es unmöglich, von einem Gegenstände zu sprechen, ohne ihn irgendwie zu bezeichnen oder zu benennen. Das Wort „Wallfisch'^ benennt aber kein Einzelwesen. AVenu man erwidert, allerdings sei nicht von einem einzelnen, bestimmten Gegenstande die Rede, wohl aber von einem unbestimmten, so meine ich, dass „unbestimmter Gegenstand'* nur ein andrer Ausdruck filr „Begrifft' ist, und zwar ein schlechter, widei'-
I -" ^"" ■ ■ — ' .»—-—. «-. ■— II »« »■ —III--. -.mt^-- •«v~.a.. A^ .... •«■ " " •* ". 't"'.'. .' ' '^^^ ■"■'^;'"l'"'t ** ' .. . r • . l)-'_'"^"iAli -**"■
61
sprttchsvoller. Mag immerhin unser Satz nur durch Be- obachtung an einzelnen Thieren gerechtfertigt \verden können, dies beweist nichts fUr seinen Inhalt. FUi* die Frage, wovon er handelt, ist es gleichgiltig, ob er wahr ist oder nicht^ /ider aus welchen Gründen wir ihn f&r wahr halten. Wena nun der Begriff etwas Objectives ist, so kann auch eine. Aussage von ihm etwas Tliatsächliches enthalten.
§ 48. Der Schein, der vorhin bei einigen Beispielen entstand, dass demselben verschiedene Zahlen zukämen, erklärt sich daraus, dass dabei Gegenstände als Träger der Zahl angenommen wunlen. Sobald wir den wahren Träger, den Begriff, in seine Rechte einsetzen, zeigen sich die Zahlen so ausschliessend wie in ihrem Bereiche die Farben.
AVir sehen nun auch, wie man dazu kommt, die Zahl durch Abstraction von den Dingen gewinnen zu wollen. Was man dadurch erhält, ist der Begriff, an dem man dann die Zahl entdeckt. So geht die Abstraction in der Thai oft der Bildung eines Zahlurtheils vorher. Die Yerwechselnng ist dieselbe, wie wenn man sagen wollte: der Begriff der Feuergefährlichkeit wird erhalten, indem man ein Wohnhans aus Fachwerk mit einem Brettergiebel und Strohdach haut, dessen Schornsteine undicht sind.
Die sammelnde Kraft des Begriffes Übertrifft weit die vereinigende der sj^nthetischen Apperception. Durch diese wäre es nicht möglich, die Angehörigen des deutschen Reiches zu einem Ganzen zu verbinden ; wohl aber kann man sie unter dem Begriff „Angehöriger des deutschen Reiches*' bringen und zählen.
Nun wird auch die grosse Anwendbarkeit der Zahl erklärlich. Es ist in der That räthselhafi, wie dasselbe von äussern und zugleich von Innern Erscheinungen, von Räum- liebem und Zeitlichem und von Raum- und Zeitlosem ans- gesagt werden könne. Dies findet nun in der Zahlangabe auch gar nicht statt. Nur den Begriffen, unter, die das
62
Aeudsere und Innei-e, das Räumliche und Zeitliche» das Raum- und Zeitlose gebracht ist, wenlen Zahlen beigelegt.
§ 49. AVir finden fäi- unsere Ansicht eine Bestätigung bei Spinoza, der sagt'^): ,Jch antworte, dass ein Ding blos rücksichtlich seiner Existenz, nicht aber seiner Essenz eines oder einzig genannt wird ; denn wir stellen die Dinge unter Zahlen nur vor. nachdem sie auf ein gemeinsames Maass gebracht sind. AVer z. ß. ein Sestei*z und einen Imperial in der Hand hält, wird an die Zweizahl nicht denken, wenn er nidit dieses Sesterz nnd diesen Imperial mit einem und dem nämlichen Namen, nämlich Geldstück oder Münze belegen kann :• dann kann er bejahen, dass er zwei Geldstücke oder iilünzen habe; weil er nicht nur das Sestei-z, sondern auch den Imperial mit den Namen Münze bezeichnet.*' Wenn er fortfährt: „Hieraus ist klar, dass ein Ding eins oder einzig genannt wird, nur nachdem ein anderes Ding ist vorgestellt worden, das (wie gesagt) mit ihm übereinkommt,** und wenn er meint, dass man nicht im eigentlichen Sinne Gott einen oder einzig nennen könne, weil wir von seiner Essenz keinen abstracten Begiitf bilden konnten, so int er in der Meinung, der BeginiT könne nur unmittelbar durch Abstraction von mehren Gegenständen gewonnen werden. Vielmehr kann man auch von den Merk- malen aus zu dem Begriffe gelangen ; und dann ist es möglich, das kein Ding unter ihn fällt. Wenn dies nicht vorkäme, würde man nie die Existenz vemeinen können, und damit verlöre auch die Bejahung der Existenz ihren Inhalt.
§ 50. E. Schröder**) hebt hervor, dass, wenn von Häufigkeit eines Dinges solle gesprochen werden können, der Name dieses Dinges stets ein Gattungsname, ein all- meines Begriffswort (notio communis) sein müsse: „Sobald man nämlich einen Gegenstand vollständig — mit allen
*) Baamami a. a. O. Bd. I, S. Id9. •♦) A. a. O. & «.
\.\i ^\ ••cjtt^.:.
seineu Eigenschaften und Beziehungen — in*8 Auge fassf, $0 wird derselbe einzig in der Welt dastehen und seines gleichen nicht weiter haben. Der Name des ßegenstandes wird alsdann den Charakter eines Eigennamens (nomen proprium) tragen und kann der Gegenstand nicht als ein wiederholt vorkommender gedacht werden. Dieses gilt aber nicht allein von concreten Gegenständen, es gilt {überhaupt von jedem Dinge, mag dessen Vorstellung auch durch Ab- stractionen zu Stande kommen, wofern nur diese Vorstellung solche Elemente in sich scbliesst« welche genQgen, das be- treifende Ding zu einem völlig bestimmten zu machen
Das letztere'' (Object der Zählung zu werden) ,,wird bei einem Dinge erst insofern möglich, als man von einigen ihm eigen- thümlichen Merkmalen und Beziehungen, durch die es sich von allen andern Dingen unterscheidet, dabei absieht oder abstrahirt, wodurch dann erst der Name des Dinges zu einem auf mehre Dinge anwendbaren Begriflfe wird.''
§ 51. Das Wahre in dieser Ausf&hiting ist in so schiefe und irreführende Ausdrücke gekleidet, dass eine Ent- wirrung und Sichtung geboten ist. Zunächst ist es unpassend« ein allgemeines Begriifswort Namen eines Dinges zu nennen. Dadurch entsteht der Schein, als ob die Zahl Eigenschaft eines Dinges wäre. Ein allgemeines Begriftswort bezeichnet eben einen Begriff. Nur mit dem bestimmten Artikel oder einem Dt monstrativiironomen gilt es als Eigenname eines Dinges, hört aber damit auf, als Begriffswort zu gelten. Der Name eines Dinges ist ein Eigenname. Ein Gegenstand kommt nicht wiederholt vor, sondern mehre Gegenstände fallen unter einen Begriff. Dass ein Begriff nicht nur durch Abstraiction von den Dingen erhalten wird, die unter ihn fallen, ist schon Spinoza gegenüber bemerkt. Hier füge ich hinzu, dass ein Begriff dadurch nicht aufhört, Begriff zu sein, dass nur ein einziges Ding unter ihn fällt, welches demnach völlig durch ihn bestimmt ist. Einem solchen Be« griffe (z. B. Begleiter der Erde; kommt eben die Zahl 1 zu,
•- • • - ' '" «-—■■■•- — ■*• ■ I - ir> lim«!»! r— r I I -»-^-rf'i^^.Jf .-*«:_:. i-
64
die in demselben Sinne Zahl ist wie 2 und 3. Bei einem Begriffe fragt es sich immer, ob etwas und was etwa unter ihn tixWe. Bei einem Eigennamen sind solche Fi*agen sinnlos. Man daif sich niclit dadurch tsUiscben lassen, dass die Sprache einen Eigennamen, z. B. Mond, als Begriffswort verwendet und umgekehrt; der Unterschied bleibt trotzdem bestehen. Sobald ein Wort mit dem unbestimmten Artikel oder im Plural ohne Artikel gebraucht wiid, ist es Be- giiffswort.
§ 52. f'ine weitere Bestätigung für die Ansicht, dass die Zahl Begriffen beigelegt wird, kann in dem deutschen Sprachgebrauche gefunden werden, dass man zehn ^lann, vier Mark, drei Pass sagt. Der Singular mag hier andeuten, dass der Begriff gemeint ist, nicht das Ding. Der Vorzug dieser Ansdrucksweise tritt besonders bei der Zahl 0 hervor. Sonst freilich legt die Sprache den Gegenständen, nicht dem Begiiffe Zahl bei: man sagt „Zahl der Ballen,'* wie man „Gewicht der Ballen** sagt. So spricht man scheinbar von Gegenständen, während man in Wahrheit von einem Begriffe etwas aussagen will. Dieser Sprachgebrauch ist verwirrend. Der Ausdruck „vier edle Rosse" erweckt den Schein, als ob „vier** den Begiiff „edles Boss** ebenso wie ,,edel" den Begiiff „Boss** näher bestimme. Jedoch ist nur „edel** ein solches Merkmal ; durch das Wort „vier" sagen wir etwas von einem Begriffe ans.
§ 53. Unter Eigenschaften, die von einem Begiiffe ausgesagt werden, verstehe ich natürlich nicht die Merkmale, die den Begiiff zusammensetzen. Diese sind Eigenschaften der Dinge, die unter den Begriff fallen, nicht des Begriffes. So ist „rechtwinklig'* nicht eine Eigenschaft des Begriffes „rechtwinkliges Dreieck" ; aber der Satz, dass es kein recht- winkliges, geradliniges, gleichseitiges Dreieck gebe, spricht eine Eigenschaft des Begriffes „rechtwinkliges, geradliniges, gleichseitiges Dreieck" aus; diesem wird die Nullzahl bei- gelegt
\
I
<5
In dieser Beziehung hat die Existenz Aehnlichkeit mit der Zahl. Es ist ja Bejahung der Existenz nichts Anderes als Verneinung der Nullzahl. AVeil Existenz Eigenschaft des Begriffes ist, erreicht der ontologische Beweis von der Existenz Gottes sein Ziel nicht. Ebensowenig wie die Existenz ist aber die Einzigkeit Merkmal des Begriffes ,,Gott'^ Die Einzigkeit kann nicht zur Definition dieses Begriffes gebraucht werden, wie man auch die Festigkeit, Geräumigkeit, TVohnlichkeit eines Hauses nicht mit Steinen, Mörtel und Balken zusammen bei seinem Baue verwenden kann. IVIan darf jedoch daraus, dass etwas Eigenschaft eines Begriffes ist, niclit allgemein scliliessen, dass es ans dem Begriffe, d. h. aus dessen Merkmalen nicht gefolgert werden könne. Unter Umständen ist dies möglich, wie man aus der Art der Bausteine zuweilen einen Schluss auf die Dauerhaftigkeit eines Gebäudes machen kann. Daher wäre es zuviel behauptet, dass niemals aus den Merkmalen eines Begriffes auf die Einzigkeit oder Existenz gesclilossen werden könne ; nur kann dies nie so unmittelbar geschehen, wie man das Merkmal eines Begriffes einem unter ihn fallenden Gegenstande als Eigenschaft beilegt.
Es wäre auch falsch zu leugnen, dass Existenz und Einzigkeit jemals Merkmale von Begriffen sein könnten. Sie sind nur nicht Merkmale der Begiiffe, denen man sie der Sprache folgend zuschreiben möchte. Wenn man z. B. alle Begriffe, unter welche nur Ein Gegenstand fällt, unter einen Begriff sammelt, so ist die Einzigkeit Merkmal dieses Be- griffes. Unter ihn würde z. B. der Begriff „Erdmond,'^ aber nicht der sogenannte Himmelskörper fallen. So kann man einen Begriff unter einen hohem, so zu sagen einen Begriff zweiter Ordnung fallen lassen. Dies Verhältniss ist aber nicht mit dem der Unterordnung zu verwechseln.
§ 54. Jetzt wird es möglich sein, die Einheit befrie- digend zu erklären. K. Schröder sagt auf S. 7 seines genannten Lehrbuches: „Jeuer Gattungsname oder Begiiff
■fc KTiiili o
-■ I -1 I IM M» »
^ ■•--"■' — •^'' *"- " " ■■ --*■ ■^>' • ■ Hil.iiii ifc>. ■i.^M :^-^>w.^-^.^^„^^.
66
wird die Benennung der auf die angegebene Weise gebildeten Zahl genannt und macbt das Wesen ihrer Einheit aus/'
In der That, wäre es nicht am passendsten, einen Begriff Einheit zu nennen in Bezug auf die Anzahl, welche ihm zukommt? Wir können dann den Aussagen über die Einheit, dass sie von der Umgebung abgesondert und un- theilbar sei, einen Sinn abgewinnen. Denn der Begriff, dem die Zahl beigelegt wird, grenzt im Allgemeinen das unter ihn Fallende in bestimmter Weise ab. Der Begriff „Buch- stabe des Wortes ZabP' gi^enzt das Z gegen das a, dieses gegen das h u. s. w. ab. Der Begriff „Silbe des Wortes Zahl'' hebt das AVort als ein Gauzi^s und in dem Sinne Untheilbares heraus, dass die Theile nicht mehr unter den Begiiff „Silbe des AVortes Zahl'' fallen. ^Mcht alle Begriffe sind so beschaffen. AVir können z. B. das unter den Begriff des Kothen Fallende in manuigfacher Weise zertbeilen, ohne dass die Theile aufhören, unter ihn zu fallen. Einem solchen Begiiffe kommt keine endliche Zahl zu. Der Satz von der Abgegrenztheit und Untheilbarkeit der Einheit lässt sich demnach so aussprechen:
Einheit in Bezug auf eine endliche Anzalil kann nur ein solcher Begriff sein, der das unter ihn Fallende bestimmt abgrenzt und keine beliebige Zertheilung gestattet.
Man sieht aber, dass Untheilbarkeit hier eine besondere Bedeutung hat
Nun beantworten wir leicht die Frage, wie die Gleichheit mit der Unterscheidbarkeit der Einheiten zu versöhnen seL Das AVoit „Einheit'* ist hier in doppeltem Sinne gebraucht. Gleich sind die Einheiten in der oben erklärten Bedeutung dieses AVorts. In dem Satze: „Jupiter hat vier Monde" ist die Einheit „Jupiiersmoud". Unter diesen Begriff fällt sowohl I als auch II, als auch III, als auch lY. Daher kann man sagen: die Einheit, auf die I bezogen wird, ist gleich der Einheit, auf die II bezogen wird u. s. f. Du bhben wir die Gleichheit. AVenu man aber die Unterscheid-
«7
barkeit der Einheiten behauptet, so versteht man darunter die der gezählten Dinge.
IV. Der Begriff der Anzahl Jede einzelne Zahl ist ein selbständiger Gegenstand.
§ 66. Nachdem wir erkannt haben, dass die Zahlan- gabe eine Aussage von einem Begriffe enthält, können wir versuchen, die leibnizischen Definitionen der einzelnen Zahlen durch die der 0 und der 1 zu ergänzen.
Es liegt nahe zu erklären: einem Begriffe kommt die Zahl 0 zu, wenn kein Gegenstand unter ihn fällt. Aber hier scheint an die Stelle der 0 das gleichbedeutende „kein'' getreten zu sein; deshalb ist folgender Wortlaut vorzuziehen: einem Begiiffe kommt die Zahl 0 zu, wenn allgemein, was auch a sei, der Satz gilt, dass a nicht unter diesen Begriff falle.
In ähnlicher Weise könnte man sagen: einem Begriffe F kommt die Zahl 1 zu, wenn nicht allgemein, was auch a sei, der Satz gilt, dass a nicht unter F falle, und wenn aus den Sätzen
„a fällt unter F'' und „b fällt unter F'' allgemein folgt, dass a und b dasselbe sind.
Es bleibt noch übrig,^ den Uebergang von einer Zahl zur nächstfolgenden allgemein zu erklären. Wir versuchen folgenden Woillaut : dem Begriffe F kommt die Zahl (n+ 1) zu, wenn es einen Gegenstand a giebt, der unter F fällt und so beschaffen ist» dass dem Begriffe „unter F fallend, aber nicht a^' die Zahl n zukommt
§ 56. Diese Erklärungen bieten sich nach unsem bis« heiigeu Ergebnissen so ungezwungen dar, dass es einer Darlegung bedarf, warum sie uns nicht geuflgen können.
Am ehesten wird die letzte Definition Bedenken er- regen ; denn genau genommen ist uus der Sinn des Ausdruckes
6^
' ^"■■'!»--'Vri»Ki^^
68
y,dem Begriffe 6 kommt die Zahl n zu'' ebenso unbekannt wie der des Ausdruckes ,,dem Begriffe F kommt die Zahl (n + 1) zu.'' Zwar können wir mittels dieser und der vor- letzten Erklärung sagen, was es bedeute
yydem Begriffe F kommt die Zahl 1 + 1 zu/' und dann, indem wir dies benutzen, den Sinn des Ausdruckes
„dem Begriffe P kommt die Zahl 1 + 1 + 1 zu" angeben u. s. w. ; aber wir können — um em krasses Beispiel zu geben — durch unsere Definitionen nie entscheiden, ob einem Begriffe die Zahl Julius Caesar zukomme, ob dieser bekannte Eroberer Galliens eine Zahl ist oder nicht. Wir können ferner mit Hilfe unserer Erklärungsversuche nicht beweisen, dass a = b sein muss, wenn dem Begriffe F die Zahl a zukommt, und wenn demselben die Zahl b zukommt. Der Ausdruck „die Zahl, welche dem Begriffe F zukommt" wäre also nicht zu rechtfertigen und dadurch wiii^de es &ber- haupt unmöglich, eine Zahlengleichheit zu beweisen, weil wii* gar nicht eine bestimmte Zahl fassen könnten. Es ist nur Schein, dass wir die 0, die 1 erklärt haben; in Wahr- heit haben wir nur den Sinn der Redensarten
„die Zahl 0 kommt zu,"
„die Zahl 1 kommt zu" festgestellt; aber es nicht erlaubt, hierin die 0, die 1 als selbständige, wiedererkennbare Gegenstände zu unterscheiden. § 57. Es ist hier der Ort, unsern Ausdruck, dass die Zahlangabe eine Aussage von einem Begriffe enthalte, etwas genauer ins Auge zu fassen. In dem Satze „dem Begiiffe F kommt die Zahl 0 zu" ist 0 nur ein Theil des Praedicates, wenn wir als sachliches Subject den Begriff F betrachten. Deshalb habe ich es vermieden, eine Zahl wie 0, 1, 2 Eigenschaft eines Begriffes zu nennen. Die einzelne Zahl erscheint eben dadurch, dass sie nur einen Theil der Aussage bildet, als selbständiger Gegenstand. Ich habe schon oben darauf aufmerksam gemacht, dass man „die 1" sagt und durch den bestimmten Artikel 1 als Gegenstand hinstellt
■ ■■ *■
69
Diese Sell)ständigkeit zeigt sich fiberall in der Arithmetik, z. £. in der Gleichung 1 + 1 = 2. Da es uns hier darauf ankommt, den Zahlbegriff so zu fassen, wie er f&r die Wissen« Schaft brauchbar ist, so darf es uns nicht stdren, dass im Sprachgebrauche des Lebens die Zahl auch attributiv erscheint. Dies lässt sich immer vermeiden. Z. B. kann man den Satz „Jupiter hat vier Monde*' umsetzen in ,ydie Zahl der Jupitersmonde ist vier.'^ Hier darf das ^^ist^' nicht als blosse Copula betrachtet werden, wie in dem Satze y^der Himmel ist blau*'. Das zeigt sich darin, dass man sagen knnn: „die Zahl der Jupitersmonde ist die vier'' oder „ist die Zahl 4". Hier hat „ist" den Sinn von „ist gleich," „ist dasselbe wie". Wir haben also eine Gleichung, die behauptet, dass der Ausdruck „die Zahl der Jupitersmonde" denselb^i Gegenstand bezeichne wie das Wort „vier." Und die Form der Gleichung ist die herrschende in der Arithmetik. Gegen diese Auffassung streitet nicht, dass in dem Worte „vier^ nichts von Jupiter oder von Mond enthalten ist. Auch in dem Namen „Columbus" liegt nichts von Entdecken oder von Amerika und dennoch wird derselbe Mann Columbns und der Entdecker Amerikas genannt
§ 58. Man könnte einwenden, dass wir uns von dem Gegenstande, den wir Vier oder die Anzahl der Jupiters- monde nennen, als von etwas Selbständigem durchaus keine Vorstellung'*') machen können. Aber die Selbständigkeit, die wir der Zahl gegeben haben, ist nicht Schuld daran. Zwar glaubt man leicht, dass in der Vorstellung von vier Augen eines Würfels etwas vorkomme, was dem Worte „vier" entspräche ; aber das ist Täuschung. Man . denke an eine gr&ne Wiese und versuche, ob sich die Vorstellung ändert, wenn man den unbestimmten Artikel durch das Zahlwort „Ein" ersetzt. Es kommt nichts hinzu, während doch dem Worte „grün" etwas in der Vorstellung entspricht.
^) «Vorstellang* in dem Sinne Ton etwas Bildartigem genommen.
'mtfft-^**'» ■?• ifrj AS^ ^?^K ^r^
70
Wenn man sich das gedruckte Wort „Gold" vorstellt, wird man zunächst an keine Zahl dabei denken. Fragt man sich nun, aus wieviel Buchstaben es bestehe, so ergiebt sich die Zahl 4; aber die Vorstellung wird dadurch nicht etwa be- stimmter, sondern kann ganz unverändeil bleiben. Der hinzu- tretende Begriff „Buchstabe des Wortes Gold'' ist eben das, woran wir die Zahl entdecken. Bei den vier Augen eines Würfels ist die Sache etwas versteckter, weil der Begriff sich uns durch die Aehnlichkeit der Augen so unmittelbar aufdrängt, dass wir sein Dazwischentreten kaum bemerken. Die Zahl kann weder als selbständiger Gegenstand noch als Eigenschaft an einem äussern Dinge vorgestellt werden, weil sie weder etwas Sinnliches noch Eigenschaft eines aussein Dinges ist. Am deutlichsten ist die Sache wohl bei der Zahl 0. Man wird vergebens versuchen, sich 0 sicht- bare Sterne vorzustellen. Zwar kann man sich den Himmel ganz mit Wolken überzogen denken; aber hierin ist nichts, was dem Worte „Stern'' oder der 0 entspräche. Man stellt sich nur eine Sachlage vor, die zu dem Urtheile veranlassen kann: es ist jetzt kein Stern zu sehen.
§ 59. Jedes Wort erweckt vielleicht irgendeine Vor- stellung in uns, sogar ein solches wie „nur''; aber siebraucht nicht dem Inhalte des Wortes zu entsprechen; sie kann in andern Menschen eine ganz andere sein. Man wird sich dann wohl eine Sachlage voi*stellen, die zu einem Satze auf- fordert, in welchem das Wort vorkommt ; oder es ruft etwa das gesprochene Wort das geschriebene ins Gedächtniss zurBck.
Dies findet nicht nur bei Partikeln statt. Es unter- liegt wohl keinem Zweifel, dass wir keine Vorstellung unserer Entfernung von der Sonne haben. Denn, wenn wir auch die Regel kennen, wie oft wir einen Maasstab vervielfältigen müssen, so misslingt doch jeder Versuch, nach dieser Begel uns ein Bild zu entwei-fen, das auch nur einigermaassen dem Gctvollten nahe kommt. Das ist aber kein Grund, die Bich-
•V*!!
71
tigkeit der Rechnung zu bezweifeln, durcb welche die Ent- fernung gefunden ist, und hindert uns in keiner Weise, weitere Schlüsse auf das Bestehen dieser Entfernung za grfinden.
§ 60. Selbst ein so concretes Ding wie die Erde können wir uns nicht so vorstellen, wie wir erkannt haben, dass es ist ; sondern wir begnügen uns mit einer Kugel von mäss^iger Grösse, die uns als Zeichen für die Erde gilt; aber wir wissen, dass diese sehr davon verschieden ist. Obwohl nun unsere Vorstellung das Gewollte oft gar nicht trifft, so urtheilen wir doch mit grosser Sicherheit über einen Gegenstand wie die Erde auch da, wo die Grösse in Betracht kommt.
Wir werden durcb das Denken gar oft über das Vor- stellbare hinausgeführt, ohne damit die Unterlage für unsere Schlüsse zu verlieren. Wenn auch, wie es scheint, ans Menschen Denken ohne Vorstellungen unmöglich ist^ so kann doch deren Zusammenbang mit dem Gedachten ganz äusser- lich, willkührlich und conventionell sein.
Es ist also die Unvorstellbarkeit des Inhaltes eines Wortes kein Grund, ihm jede Bedeutung abzusprechen oder es vom Gebrauche ausznschliessen. Der Schein des Gregen- theils entsteht wohl dadurch, dass wir die Wörter vereinzelt betrachten und nach ihrer Bedeutung fragen, ffir welche wir dann eine Vorstellung nehmen. So scheint ein Wort keinen Inhalt zu haben, für welches uns ein entsprechendes inneres Bild fehlt. Man muss aber immer einen vollständigen Satz ins Auge fassen. Nur in ihm haben die Wörter eigentlich eine Bedeutung. Die innem Bilder, die uns dabei etwa vorschweben, brauchen nicht den logischen Bestand- theilen des Urtheils zu entsprechen. Es genfigt, wenn der Satz als Ganzes einen Sinn hat; dadurch erhalten auch seine Theile ihren Inhalt.
Diese Bemerkung scheint mir geeignet, auf manche
^ -t*"^. " . •*-—**■■■ h I II ■■■■ ■■■■■l .m—rn^....^^, I I iMrtrt till^-l TT < ,p»g| - ^. .-.— .>. -.--g- - .,,-
72
schwierige Begriffe wie den des Unendlichkleinen'*') ein Licht zu werfen, und ihre Tragweite beschränkt sich wohl nicht auf die Mathematik.
Die Selbständigkeit, die ich fiir die Zahl in Anspruch nehme, soll nicht bedeuten, dass ein Zahlwort ausser dem Zusammenhange eines Satzes etwas bezeichne, sondern ich will damit nur dessen Gebrauch als Praedicat oder Attribut ausschliessen, wodurch seine Bedeutung etwas verändert wird.
§ 61. Aber, wendet man vielleicht ein, mag auch die Erde eigentlich unvorstellbar sein, so ist sie doch ein äusseres Ding, das einen bestimmten Ort hat; aber wo ist die Zahl 4? sie ist weder ausser uns noch in uns. Das ist in räumlichem Sinne verstanden richtig. Eine Ortsbestimmung der Zahl 4 hat keinen Sinn; aber dai^aus folgt nur, dass sie kein räum- licher Gegenstand ist, nicht, dass sie überhaupt keiner ist. Nicht jeder Gegenstand ist irgendwo. Auch unsere Vor- stellungen*'*') sind in diesem Sinne nicht in uns (subcutan). Da sind Ganglienzellen, Blutkörperchen und dergl., aber keine Vorstellungen. Räumliche Praedicate sind auf sie nicht anwendbar: die eine ist weder rechts noch links von der andern; Vorstellungen haben keine in Millimetern angebbaren Entfernungen von einander. Wenn wir sie dennoch in uns nennen, so wollen wir sie damit als subjectiv bezeichnen.
Aber wenn auch das Subjective keinen Ort hat, wie ist es möglich, dass die objective Zahl 4 nirgendwo sei? Nun ich behaupte, dass darin gar kein Widerspruch liegt. Sie ist in der That genau dieselbe für jeden, der sich mit ihr beschäftigt; aber dies hat mit Räumlichkeit nichts zu schaffen. Nicht jeder objective Gegenstand hat einen Ort.
*) Es kommt darauf an, den Sinn einer Gleichung wie
df (X) = g(x)dx zu defiuiren, nicht aber darauf, eine von zwei verschiedenen Paukten begrenzte Strecke aufEUweisen, deren Länge dx wilre.
**) Dies Wort rein psychologisch, nicht psychophysisch verstanden.
f "• ■^- — — --■•■«
7»
um den Begriff der Anzahl zu gewinnen, muss man den Sinn einer Zahlengleichnng feststellen.
§ 62. Wie soll uns denn eine Zahl gegeben sein, wenn wir keine Vorstellung oder Anschauung von ihr haben können? Nur im Zusammenhange eines Satzes bedeuten die Wörter etwas. Es wird also darauf ankommen, den Sinn eines Satzes zu erklären, in dem ein Zahlwort vorkommt. Das giebt zunächst noch viel der Willkähr anheim. Aber wir haben schon festgestellt, dass unter den Zahlwörtern selb- ständige Gegenstände zu verstehen sind. Damit ist uns eine Gattung von Sätzen gegeben, die einen Sinn haben m&ssen, der Sätze, welche ein Wiedererkennen ausdrficken. Wenn uns das Zeichen a einen Gegenstand bezeichnen soll, so müssen wir ein Kennzeichen haben, welches fiberall ent- scheidet, ob b dasselbe sei wie a, wenn es auch nicht immer in unserer Macht steht, dies Kennzeichen anzuwenden. In unserm Falle müssen wir den Sinn des Satzes
„die Zahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist dieselbe,
welche dem Begriffe G zukommt^ erklären; d. h. wir müssen den Inhalt dieses Satzes in an- derer Weise wiedergeben, ohne den Ausdruck
„die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt^* zu gebrauchen. Damit geben wii* ein allgemeines Kenn- zeichen für die Gleichheit von Zahlen an. Nachdem wir so ein Mittel erlangt haben, eine bestimmte Zahl za fassen und als dieselbe wiederzuerkennen, können wir ihr ein Zahlwort zum Eigennamen geben.
§ 63. Ein solches Mittel nennt schon Hume'^): „Wenn zwei Zahlen so combinirt werden, dass die eine immer eine Einheit hat, die jeder Einheit der andern entspricht, so geben wir sie als gleich an.'' Es scheint in neuerer Zeit die
*) Baamann a. a. 0. Bd. IL S. 606.
»— ■»-•^1 mt ■— ^n^ u r**" '" **'".J1T^C^.^'>. '•»■>- _^x
74
Mdnang unter den Matheroatikern*) vielfach Anklang ge- funden zu haben, dass die Gleichheit der Zahlen mittels der eindeutigen Zuordnung definiil werden mttsse. Aber es er- heben sich zunächst logische Bedenken und Schwierigkeiten, an denen wir nicht ohne Prüfung vorbeigehen dfirfen.
Das Verhältniss der Gleichheit kommt nicht nur bei Zahlen vor. Daraus scheint zu folgen, dass es nicht f&r diesen Fall besonders erklärt werden darf. Man sollte denken, dass der Begriff der Gleichheit schon vorher fest- stände, und dass dann aus ihm und dem Begriffe der Anzahl sich ergeben mttsste, wann Anzahlen einander gleich wären, ohne dass es dazu noch einer besondern Definition bedürfte.
Hiergegen ist zu bemerken, dass für uns der Begriff der Anzahl noch nicht feststeht, sondern erst mittels unserer Erklärung bestimmt werden soll, unsere Absicht ist, den Inhalt eines Urtheils zu bilden, der sich so als eine Gleichung auffassen lässt, dass jede Seite dieser Gleichung eine Zahl ist. Wir wollen also nicht die Gleichheit eigens für diesen Fall erklären, sondern mittels des schon bekannten Begriffes der Gleichheit, das gewinnen, was als gleich zu betrachten ist Das scheint freilich eine sehr ungewöhnliche Art der Definition zu sein, welche wohl von den Logikern noch nicht genügend beachtet ist; dass sie aber nicht unerhört ist, mögen einige Beispiele zeigen.
§ 64. Das Urtheil: ^die Gerade a ist parallel der Gerade b," in Zeichen:
a//b, kann als Gleichung aufgefasst werden. Wenn wir dies thun, erhalten wir den Begriff der Richtung und sagen: „die Richtung der Gerade a ist gleich der Richtung der Gerade b''.
♦) VergL E. Schröder a. a. O. S. 7 und 8. E. Kossak, die Elemente der Aritlimetik, Programm des Friedrichs-Werder'schen Gjmnasioms. Berlin, 1872. S. 10. G. Cantor, Grundlagen einer allgemeinen Hannich- faltigkeitslehre. Leipsig, 1888.
^ammiaeumimmämmmm
75
Wir ersetzen also das Zeichen // durch das allgemeinere =-, indem wir den besondem Inhalt des ersteren an a und b yertheilen. Wir zerspalten den Inhalt in anderer als der ursprünglichen Weise und gewinnen dadurch einen neuen Begriff. Oft fasst man freilich die Sache umgekehrt auf, und manche Lehrer definiren: pai*allele Geraden sind solche von gleicher Richtung. Der Satz: ^^wenn zwei Geraden einer dritten parallel sind, so sind ^ie einander parallel'^ lässt sich dann mit Berufung auf den ähnlich lautenden Gleichheitssatz sehr bequem beweisen. Nur schade, dass der wahre Sach* verbalt damit auf den Kopf gestellt wird! Denn alles Geo- metrische mnss doch wohl lusprünglich anschaulich sein. Nun frage ich, ob jemand eine Anschauung von der Richtung einer Gerade hat. Von der Gerade wohl! aber unterscheidet man in der Anschauung von dieser Gerade noch ihre Richtung? Schwerlich! Dieser Begriff wird erst durch eine an die An- schauung anknüpfende geistige Tbätigkeit gefunden. Dagegen hat man eine Vorstellung von parallelen Geraden. Jener Beweis kommt nur durch eine Erschleichung zu Stande, in- dem man durch den Gebranch des Wortes „Richtung^' das zu Beweisende voraussetzt; denn wäre der Satz: „wenn zwei Geraden einer dritten parallel sind, so sind sie einander parallel'' unrichtig, so könnte man a/Zb nicht in eine Gleichung verwandeln.
So kann man aus dem Parallelismus von Ebenen einen Begriff erhalten, der dem der Richtung bei Geraden ent- spricht. Ich habe dafür den Namen „Stellung'' gelesen. Aus der geometrischen Aebniichkeit geht der Begriff der Gestalt hervor, so dass man z. B. statt „die beiden Drei- ecke sind ähnlich" sagt: „die beiden Dreiecke haben gleiche Gestalt" oder „die Gestalt des einen Dreiecks ist gleich der Gestalt des andern". So kann man auch aus der col- linearen Verwandtschaft geometrischer Gebilde einen Begriff gewinnen, für den ein Name wohl noch fehlt
"' -r----, Mr - --^- — - -^ ■■- •■• -1 ■•->■..■.■.. «>i.^. M«iiM I*»..,»
76
§ 65. um nan z. 6. Tom Parallelismus*) auf den Be- griff der Richtung zu kommen, versuchen wir folgende Defi- nition : der Satz
„die Gerade a ist parallel der Gerade b'^ sei gleichbedeutend mit
9,die Richtung der Gerade a ist gleich der Richtung
der Gerade b".
Diese Erklärung weicht insofern von dem Gewohnten ab, als sie scheinbar die schon bekannte Beziehung der Gleichheit bestimmt, während sie in Wahrheit den Ausdruck ,idie Richtung der Gerade a^' einführen soll, der nur neben- sächlich vorkommt. Daraus entspringt ein zweites Bedenken, ob wir nicht durch eine solche Festsetzung in Widersprüche mit den bekannten Gesetzen der Gleichheit verwickelt werden könnten. Welches sind diese? Sie werden als analytische Wahrheiten aus dem Begriffe selbst entwickelt werden können. Nnn definirt Leibniz'*'*) :
„Eadem sunt, quorum unum potest substitui alten
salva veritate". Diese Erklärung eigne ich mir fttr die Gleichheit an. Ob man wie Leibniz „dasselbe'' sagt oder „gleich'', ist uner- heblich. „Dasselbe'' scheint zwar eine vollkommene Ueber- einstimmung, „gleich*' nur eine in dieser oder jener Hinsicht auszudrücken; man kann aber eine solche Redeweise an- nehmen, dass dieser Unterschied wegfällt, indem man z. B. statt „die Strecken sind in der Länge gleich'' sagt „die Länge der Strecken ist gleich" oder „dieselbe," statt „die Flächen sind in der Farbe gleich" „die Farbe der Flächen ist gleich". Und so haben wir das Wort oben in den
*) Um mich bequemer aasdrücken zu können und leichter Ter- standen zu werden, spreche ich hier vom ParaUelismas. Das Wesentliche dieser Erörterungen wird leicht anf den Fall der Zahlengleichheit ttber- tragen werden können.
**) Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis. Erdm. S. 94.
77
Beispielen gebiaucht. In der allgemeinen Ersetzbarkeit sind nun in der Tbat alle Gesetze der Gleichheit enthalten.
Um uDseiii Definitions versuch der Richtung einer Ge- rade zu rechtfertigen, müssten wir also zeigen, dass man
die Richtung von a Überall durch
die Richtung von b ersetzen könne, wenn die Gerade a der Gerade b parallel ist. Dies wird dadurch vereinfacht, dass man zunächst von der Richtung einer Gerade keine andere Aussage kennt als die Uebereinstimmung mit der Richtung einer andern Gerade. Wir brauchten also nur die Ersetzbarkeit in einer solchen Gleichheit nachzuweisen oder in Inhalten, welche solche Gleichheiten als ßestaudtheile'*') enthalten würden. Alle andern Aussagen von Richtungen mttssten erst erklärt werden und für diese Definitionen können wir die Regel aufstellen, dass die Ersetzbai keit der Richtung einer Gerade durch die einer ihr parallelen gewahrt bleiben muss.
§ 66. Aber noch ein drittes Bedenken erhebt sich gegen unsern Definitionsversuch. In dem Satze
„die Richtung von a ist gleich der Richtung von b^ erscheint die Richtung von a als Gegenstand**) nnd wir haben in unserer Definition ein Mittel, diesen Gegenstand wiederzuerkennen, wenn er etwa in einer andern Verkleidung etwa als Richtung von b auftreten sollte. Aber dies Mittel
*) In einem hypothetischen Urtheile könnte s. B. eine Gleicbbcdt von Richtungen als Bedingung oder Folge vorkommen.
**) Der bestimmte Artikel deutet dies an. Begriff ist für mich ein mögliches Praedieat eines singulären beurtheilbaren Inhalts, Gegenstand ein mögliches Subject eines solchen. Wenn wir in dem Satiee
»die Richtung der Femrohraxe ist gleich der Richtung der Erdaze^ die Richtung der Femrohraxe als Subject ansehen, so ist das Praedieat •gleich der Richtung der Erdaxe*. Dies ist ein BegnfL Aber dl« lÜchtung der Erdaxe ist nur ein Theil des Praedicates; sie ist eis Gegenstand, da sie auch cum Subjecte gemacht werden kann.
'^^ — -^ —■- - --
78
reicbt nicht fttr alle Fälle aus. Man kann z. 6. danach nicht entscheideni ob England dasselbe sei wie die Richtung der Erdaxe. Man verzeihe dies nnsinuig scheinende Beispiel! Natürlich wird niemand England mit der Richtuug der Erd- axe verwechseln; aber dies ist nicht das Verdienst unserer Erklärung. Diese sagt nichts darüber, ob der Satz
.,die Richtung von a ist gleich q^^ zu bejahen oder zu verneinen ist, wenn nicht q selbst in der Form .|die Richtung von b^' gegeben ist. Es fehlt uns der Begiiff der Richtung; denn hätten wir diesen, so könnten wir festsetzen ; wenn q keine Richtung ist, so ist unser Satz zu verneinen: wenn q eine Richtung ist, so entscheidet die frühere Erklärung. Es liegt nun nahe zu erklären:
q ist eine Richtung, wenn es eine Gerade b giebt,
deren Richtung q ist. Aber nun ist klar, dass wir uns im Kreise gedreht haben. Um diese Erklärung anwenden zu können, müssen wir schon in jedem Falle wissen, ob der Satz
„q ist gleich der Richtung von b'^ zu bejahen oder zu verneinen wäre.
§ 67. Wenn mau sagen wollte: q ist eine Richtung, wenn es durch die oben ausgesprochene Definition eingeführt ist, so würde man die Weise, wie der Gegenstand q einge- führt ist, als dessen Eigenschaft behandeln, was sie nicht ist. Die Definition eines Gegenstandes sagt als solche eigentlich nichts von ihm aus, sondern setzt die Bedeutung eines Zeichens lest. Nachdem das geschehen ist, verwandelt sie sich in ein Urtheil, das von dem Gegenstande handelt, aber führt ihn nun auch nicht mehr ein und steht mit andern Aussagen von ihm in gleicher Linie. Man würde, wenn man diesen Ausweg wählte, voraussetzen, dass ein Gegen- stand nur auf eine einzige Weise gegeben werden könnte; denn sonst würde daraus, dass q nicht durch unsere Defi- nition tingetühit ist, nicht folgen, dass es nicht so eingelührt werden könnte. Alle Gleichungen würden darauf hinaus-
{
79
kommen, dass das als dasselbe anerkannt Wut de, was uns auf dieselbe Weise gegeben ist. Aber dies ist so selbst- verständlich und so unfruchtbar, dass es nicht verlohnte, es auszusprechen. Man könnte in der That keinen Schloss daraus ziehen, der von jeder der Voraussetzungen verschieden wäre. Die vielseitige und bedeutsame Verwendbarkeit der Gleichungen beruht vielmehr darauf, dass man etwas wieder- erkennen kann, obwohl es auf verschiedene Weise gegeben isU
§ 68. Da wir so keinen scharf begrenzten Begriff der Richtung und aus denselben Gründen keinen solchen der Anzahl gewinnen künneu, versuchen wir einen andern Weg. Wenn die Gerade a der Gerade b parallel ist, so ist der Umfang des Begriffes „Gerade parallel der Gerade a^' gleich dem Umfange des Begriffes „Gerade parallel der Gerade b^'; und umgekehrt: wenn die Umiänge der genannten Begriffe gleich sind, so ist a parallel b. Versuchen wir also zu erklären:
die Richtung der Gerade a ist der Umfang des Be- griffes „parallel der Gerade a^'; die Gestalt des Dreiecks d ist der Umfang des Be* griffes „ähnlich dem Dreiecke d^M
Wenn wir dies auf unsern Fall anwenden wollen, so haben wir an die Stelle der Geraden oder der Dreiecke Begriffe zu setzen und an die Stelle des Parallelismus oder der Aehnlichkeit die Möglichkeit die unter den einen den unter den andern Begriff fallenden Gegenständen beiderseits eindeutig zuzuordnen. Ich will der KOize wegen den Be- griff F dem Begriffe G gleichzahlig nennen, wenn diese Möglichkeit vorliegt, muss aber bitten, dies Wort als eine willkührlich gewählte Bezeichnungs weise zu betrachten, deren Bedeutung nicht der sprachlichen Zusammensetzung, Mondem dieser Festsetzung zu entnehmen ist.
Ich definire demnach :
die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist
80
der Unifang'^) des Begriffes ^^gleicbzahlig dem Be- griffe F" § 69. Dass diese Erklärung zutreffe, wird zunächst vielleicht wenig einleuchten. Denkt man sich unter dem Umfange eines Begriffes nicht etwas Anderes? Was man sich darunter denkt, erhellt aus den ui*sprünglichen Aussagen, die von Begriffsunifangen gemacht werden können. Es sind folgende :
1. die Gleichheit,
2. dass der eine umfassender als der andere sei. Nun ist der Satz:
der Umfang des Begriffes „gleichzahlig dem Begriffe F*' ist gleich dem Umfange des Begriffes „gleieh- zablig dem Begriffe 6'^
immer dann und nur dann wahr, wenn auch der Satz
„dem Begiitfe F kommt dieselbe Zabl wie dem Be- griffe G zu"
wahr ist. Hier ist also voller Einklang.
Man sagt zwar nicht, dass eine Zahl umfassender als
eine andere sei in dem Sinne, wie der Umfang eines Begriffes
umfassender als der eines andern ist; aber der Fall, dass der Umfang des Begriffes „gleicbzahlig dem Be- griffe F"
umfassender sei als
*) Ich glaube, dass filr «Umfang des Begriffes*" einfach »Begriff'' gesagt werden könnte. Aber man würde zweierlei einwenden:
1. dies stehe im Widerspruche mit meiner fiüheren Behauptung dass die einzelne Zahl ein Gegenstand sei, was durch den bestimmten Artikel in Ausdrücken wie »die Zwei*" und durch die Unmöglichkeit angedeutet werde, von Einsen, Zweien u. s. w. im Plural zu sprechen, sowie dadurch, dass die Zahl nur einen Theil des Praedicats der Zahl- angabe ausmache;
2. dass Begriffe von gleichem Umfange sein können, ohne sn- sammenzufallen.
Ich bin nun zwar der Meinung, dass beide £inw&nde gehoben werden können; aber das möchte hier zu weit führen. Ich setze voraus, dass man wisse, was der Umfang eines Begriffes seL
61
der Umfang des Begriffes |,gleichzablig dem Begriffe GF^ kann auch gar nicht vorkommen; sondenii wenn alle Begriffe, die dem O gleichzahlig sind, auch dem F gleichzahlig sind, so sind auch umgekehrt alle Begriffe, die dem F gleichzahlig sind, dem G gleichzahlig. Dies ,,umfassender'' darf natfirlicli nicht mit dem ,,gi'össer" verwechselt werden, dass bei Zahlen vorkommt.
Freilich ist noch der Fall denkbar, dass der Umfang des Begriffes „gleichzahlig dem Begriffe F^' umfassender oder weniger umfassend wäre als ein anderer Begriffsumfang, der dann nach unserer Erklärung keine Anzahl sein könnte; und es ist nicht üblich, eine Anzahl umfassender oder weniger umfassend als den Umfang eines Begriffes zu nennen; aber es steht auch nichts im Wege, eine solche Redeweise anzu- nehmen, falls solches einmal vorkommen sollte.
Ergänzung und Bewährung unserer Definition.
§ 70. Definitionen bewähren sich durch ihre Fracht- barkeit. Solche, die ebensogut wegbleiben könnten, ohne eine Lttcke in der Beweisführung zu öffnen, sind als vöUig werthlos zu verwerfen.
Versuchen wir also, ob sich* bekannte Eigenschaften der Zahlen aus unserer Erklärung der Anzahl, welche dem Begrifle F zukommt, ableiten lasseu! Wir werden uns hier mit den einfachsten begnügen.
Dazu ist es uöthig, die Gleichzahligkeit noch etwas genauer zu fassen. Wir erklärten sie mittels der beiderseits eindeutigen Zuordnung, und wie ich diesen Ausdruck ver- stehen will, ist jetzt darzulegen, weil man leicht etwas Anschauliches dariu vermuthen könnte.
Betrachten wir folgendes Beispiel! Wenn ein Kellner
solcher sein will, dass er ebenso viele Messer als Teller anf
den Tisch legt, braucht er weder diese noch jene zu zählen,
6
8»
wenn er nur rechts neben jeden Teller ein Messer legt, so- dass jedes Messer auf dem Tische sich rechts neben einem Teller befindet. Die Teller und Messer sind so beiderseits eindeutig einander zugeordnet und zwar durch das gleiche Lagenverhältniss. Wenn wir in dem Satze
f^a liegt rechts neben A'^
f&r a und A andere und andere Gegenstände eingesetzt denken, so macht der hierbei unverändert bleibende Theil des Inhalts das Wesen der Beziehung aus. Verallgemeinern wir dies!
Indem wir von einem beurtheilbaren Inhalte, der von einem Gegenstande a und von einem Gegenstande b handelt, a und b absondern, so behalten wir einen Beziehungsbegriflf ttbrig, der demnach in doppelter Weise ergänzungsbedQrftig ist. Wenn wir in dem Satze:
„die Erde hat mehr Masse als der Mond''
„die Erde'' absondern, so erhalten wii* den Begriff „mehr Masse als der Mond habend^'. Wenn wir dagegen den Gegenstand „der Mond" absondern, gewinnen wir den Begriff „weniger Masse als die Erde habend". Sondern wir beide zugleich ab, so bleibt ein Beziehungsbegriff zurück, der für sich allein ebensowenig wie ein einfacher Begriff einen Sinn hat: er verlangt immer eine Ergänzung zu einem beurtheil- baren Inhalte. Aber diese kann in verschiedener Weise geschehen: statt Erde und Mond kann ich z. B. Sonne und Erde setzen, und hierdurch wird eben die Absonderung bewirkt.
Die einzelnen Paare zugeordneter Gegenstände ver- halten sich in ähnlicher Weise — man könnte sagen als Subjecte — zu dem Beziehungsbegriffe, wie der einzelne Gegenstand zu dem Begriffe, unter den er fallt. Das Sub- ject ist hier ein zusammengesetztes. Zuweilen, wenn die Beziehung eine umkehrbare ist, kommt dies auch sprachlich zum Ausdrucke wie in dem Satze „Peleus und Thetis waren
88
die Eltern des Acbilleas'^*). Dagegen wäre es z. B. nicht gut möglich, den Inhalt des Satzes ,|die Erde ist grösser als der Mond'' so wiederzugeben, dass ,|die Erde and der Mond" als zusammengesetztes Subject erschiene, weil das „und** immer eine gewisse Gleichstellung andeutet. Aber dies thut nichts zur Sache.
Der Bezieliungsbegriff gehört also wie der einfache der reinen Logik an. Es kommt hier nicht der besondere Inhalt der Beziehung in Betracht, sondern allein die logische Form. Und was von dieser ausgesagt werden kann, dessen Wahr- heit ist analytisch und wird a priori erkannt. Dies gilt von den Beziehungsbegriffen wie von den andern. Wie
„a fällt unter den Begriff F^< die allgemeine Form eines beurtheilbaren Inhalts ist, der von einem Gegenstande a handelt, so kann man
„a steht in der Beziehung f> zu b'' als allgemeine Form für einen beurtheilbaren Inhalt an- nehmen, der von dem Gegenstande a und von dem Gegen* Stande b handelt.
§ 71. Wenn nun jeder Gegenstand, der unter den Begriff F fällt, in der Beziehung f zu einem unter den Begiiff G fallenden Gegenstande steht, und wenn zu jedem Gegenstande, der unter G fallt, ein unter F fallender Ge- genstand in der Beziehung ip steht, so sind die unter F und G fallenden Gegenstände durch die Beziehung f ein- ander zugeordnet.
Es kann noch gefragt werden, was der Ausdruck ,.jeder Gegenstand, der unter F fällt, steht in der Beziehung f zu einem unter G fallenden Gegenstande'' bedeute, wenn gar kein Gegenstand unter F fällt. Ich ver- stehe darunter:
*) Hiermit i^t der Fall nicht zu verwechseln, wo das. »und* nur scheinbar die Subjecie, in Wahrheit aber zwei Sätze verbindet.
6*
M
die beiden Sätze
,,a fällt anter F'^ und ,ya steht zu keinem unter G fallenden Gegenstande in der Beziehung f '^
können nicht mit einander bestebeui was auch a bezeichne, sodass entweder der erste oder der zweite oder beide falsch sind. Hieraus geht hervor, dass ^j'eder Gegenstand, der unter F fällt, in der Beziehung ip zu einem unter G fal- lenden Gegenstande steht/' wenn es keinen unter F fallenden Gegenstand giebt, weil dann der erste Satz
„a fällt unter F**
immer zu verneinen ist, was auch a sein mag. Ebenso bedeutet
y,zu jedem Gegenstände, der unter G fällt, steht ein unter F fallender in der Beziehung ^^\ dass die beiden Sätze
„a fällt unter G'' und „kein unter F fallender Gegenstand steht zu a in der Beziehung f>^' nicht mit einander bestehen können, was auch a sein mOge.
§ 78. Wir haben nnn gesehen, wann die unter die Begriffe F und G fallenden Gegenstände einander durch die Beziehung f zugeordnet sind. Hier soll nun diese Zuordnung eine beiderseits eindeutige sein. Darunter verstehe ich, dass folgende beiden Sätze gelten:
1. wenn d in der Beziehung f> zu a steht, und wenn d in der Beziehung 5^ zu e steht, so ist allgemein, was auch d, a und e sein mögen, a dasselbe wie e;
S. wenn d in der Beziehung f zu a steht, und wenn b in der Beziehung f zu a steht, so ist allgemein, was auch d, b und a sein mögen, d dasselbe wie b. Hieimit haben wir die beiderseits eindeutige Zuordnung
85
auf rein logische Verhültnisse zurttckgf^fiihrt und können nan so definiren: der Ausdrack
„der Begriff F ist gleichzahlig dem Begriffe G^ sei gleichbedeutend mit dem Ausdrucke
„es giebt eine Beziehung f, welche die unter den Begriff F fallenden Gegenstände den unter G fal- lenden Gegenständen beiderseits eindeutig zuordnet'^ Ich wiederhole:
die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist der Umfang des Begriffes „gleichzahlig dem Be- griffe F" und füge hinzu: der Ausdruck
„n ist eine Anzahl^' sei gleichbedeutend mit dem Ausdrucke
„es giebt einen Begriff der Art, dass n die Anzahl ist, welche ihm zukommt'\ So ist der Begriff der Anzahl erklärt, scheinbar freilich durch sich selbst, aber dennoch ohne Fehler, weil „die An- zahl, welche dem Begriffe F zukommt'' schon erklärt ist.
§ 73. Wir wollen nun zunächst zeigen, dass die An- zahl, welche dem Begriffe F zukommt, gleich der Anzahl ist, welche dem Begriffe G zukommt, wenn der Begriff F dem Begriffe G gleichzahlig ist. Dies klingt freilich wie eine Tautologie, ist es aber nicht, da die Bedeutung des Wortes „gleichzahlig'' nicht aus der Zusammensetzung, sondern aus der eben gegebenen Erklärung hervorgeht.
Nach unserer Definition ist zu zeigen, dass der Um- fang des Begriffes „gleichzahlig dem Begriffe F" derselbe ist wie der Umfang des Begriffes „gleichzahlig dem Begriffe G", wenn der Begriff F gleichzahlig dem Begriffe G ist Mit andern Worten: es muss bewiesen werden, dass unter dieser Voraussetzung die Sätze allgemein gelten:
wenn der Begriff H gleichzahlig dem Begriffe F ist.
86
so ist er auch gleichzahlig dem Begriffe G;
und wenn der Begriff H dem Begriffe G gleichzahlig ist, so ist er aach gleichzahlig dem Begriffe F. Der erste Satz kommt darauf hinaus, dass es eine Beziehung giebt, welche die unter den Begriff H fallenden Gegenstände den unter den Begriff G fallenden beiderseits eindeutig zuordnet, wenn es eine Beziehung tp giebt, welche die unter den Begriff F fallenden Gegenstände den unter den Begriff G fallenden beiderseits eindeutig zuordnet, und wenn es eine Beziehung ^ giebt, welche die unter den Be- griff H fallenden Gegenstände den unter den Begriff F fal- lenden beiderseits eindeutig zuordnet. Folgende Anordnung der Buchstaben wird dies übersichtlicher machen:
H ^ F SP G. Eine solche Beziehung kann in der That angegeben werden: sie liegt in dem Inhalte
„es giebt einen Gegenstand, zu dem c in der Be- ziehung ^' steht, und der zu b in der Beziehung if steht," wenn wir davon c und b absondein (als Beziehungspunkte betrachten). Man kann zeigen, dass diese Beziehung eine beiderseits eindeutige ist, und dass sie die unter den Begriff H fallenden Gegenstände den unter den Begriff G fallenden zuordnet.
In ähnlicher Weise kann auch der andere Satz bewiesen werden'*'). Diese Andeutungen werden hoffentlich genttgend erkennen lassen, dass wir hierbei keinen Beweisgrund der Anschauung zu entnehmen brauchen, und dass sich mitunsem Definitionen etwas machen lässt.
§ 74. Wir können nun zu den Erklärungen der ein- zelnen Zahlen flbergehn.
*) Desgleichen die Umkehrung: Wenn die Zahl, welche dem Begriffe F zukommt, dieselbe ist wie die, welche dem Begriffe G zukommt, so ist der Begriff F dem Begriffe G gleichsahlig.
87
Weil unter den Begriff ,,s]ch selbst ungleich'^ nichts fällt, erkläre ich :
0 ist die Anzahl, welche dem Begriffe „sich selbst angleich'' znkommt.
Vielleicht nimmt man daran Anstoss, dass ich hier von einem Begriffe spreche. Man wendet vielleicht ein, dass ein Widerspruch darin enthalten sei, und erinnert an die alten Bekannten das hölzerne Eisen und den viereckigen Kreis. Nun ich meine, dass die gar nicht so schlimm sind, wie sie gemacht werden. Zwar nützlich werden sie grad nicht sein; aber schaden können sie auch nichts, wenn man nur nicht voraussetzt, dass etwas unter sie falle; und das thut man durch den blossen Gebrauch der Begriffe noch nicht. Dass ein Begriff einen Widerspruch enthalte, ist nicht immer so offensichtlich, dass es keiner Untersuchung bedürfte; dazu muss man ihn erst haben und logisch ebenso wie jeden andern behandeln. Alles was von Seiten der Logik und für die Strenge der Beweisführung von einem Begriffe verlangt werden kann, ist seine scharfe Begrenzung, dass für jeden Gegenstand bestimmt sei, ob er unter ihn falle oder nicht. Dieser Anforderung genügen nun die einen Widerspruch enthaltenden Begriffe wie „sich selbst ungleich'^ durchaus; denn man weiss von jedem Gegenstande, dass er nicht unter einen solchen fUlt"*)«
Ich brauche das Wort „Begriff'' in der Weise, dass „a fällt unter den Begriff F'' die allgemeine Forin eines beurtheilbaren Inhalts ist, der
*) Oanz davon verschieden ist die Definition eines Oegenstandet aus einem Begriffe, unter den er fällt. Der Ansdmck «der grösste lelite Bruch* hat z. B. keinen Inhalt, weil der hestimmte Artikel den Anspmek erheht, auf einen bestimmten Gegenstand hinzuweisen. Dagegen ist der Begriff «Bruch, der kleiner als 1 und so beschaffen ist, dass kein Bruch, der kleiner als 1 ist, ihn an Grösse ttbertrifft* ganz unbedenkUdi, und um beweisen zu können, dass es keinen solchen Brück gebe, braucht man sogar diesen Begriff; obgleich er einen '^derspruek enthilt
88
von einem Gegenstände a handelt und der beurtheilbar bleibt, was man auch für a setze. Und in diesem Sinne ist
^a ftllt unter den Begriff ,, „sich selbst ungleich''^' ^ gleichbedeutend mit
,,a ist sich selbst ungleich ''
oder „a ist nicht gleich a*^ Ich hätte zur Definition der 0 jeden andern Begriff nehmen können, unter den nichts fällt Es kam mir aber darauf an, einen solchen zu wählen, von dem dies rein logisch bewiesen werden kann; und dazu bietet sich am bequemsten „sich selbst ungleich'' dar, wobei ich für „gleich'' die vorhin angeführte Erklärung Leibnizens gelten lasse, die rein logisch ist.
§ 75. Es muss sich nun mittels der früheren Fest- setzungen beweisen lassen, dass jeder Begiiff, unter den nichts fällt, gleichzahlig mit jedem Begriffe ist, unter den nichts fällt, und nur mit einem solchen, woraus folgt, dass 0 die Anzahl ist, welche einem solchen Begriffe zukommt, und dass kein Gegenstand unter einen Begriff fällt, wenn die Zahl, welche diesem zukommt, die 0 ist.
Nehmen wir an, weder unter den Begiiff F noch unter den Begriff G falle ein Gegenstand, so haben wir, um die Gleichzabligkeit zu beweisen, eine Beziehung f nöthig, von der die Sätze gelten:
jeder Gegenstand, der unter F fällt, steht in der Be- ziehung if zu einem Gegenstande, der unter O fällt; zu jedem Gegenstande, der unter G fällt, steht ein unter F fallender in der Beziehung f.
Wenn man aber durch diesen Begriff einen Gegenstand bestimmen wollte, der unter ihn f<illt, wäre es allerdings nöthig, zweierlei vorher zu zeigen:
1. dass unter diesen Begriff ein Gegenstand falle;
2. dass nur ein einziger Gegenstand unter ihn falle.
Da nun schon der erste dieser Sätze falsch ist» so ist der Ausdruck •der grösste ächte Bruch* siunloi.
89
Nach dem, Wiis früher über die Bedentang dieser drücke gesagt ist, erfüllt bei nnsem Voranssetznngen jede Beziehung diese Bedingungen, also auch die Gleichheit, die' obendrein beiderseits eindeutig ist; denn es gelten die beiden oben dafür verlangten Sätze.
Wenn dagegen unter 6 ein Gegenstand fällt z. B. a, während unter F keiner fällt, so bestehen die beiden Sätze
„a fällt unter G"
und
„kein unter F fallender Gegenstand steht zu a in
der Beziehung f** mit einander für jede Beziehung f> ; denn der erste ist nach der ersten Voraussetzung richtig und der zweite nach der zweiten. Wenn es nämlich keinen unter F fallenden Gegen- stand giebt, so giebt es auch keinen solchen, der in irgend- einer Beziehung zu a stände. Es giebt also keine Beziehung, welche nach unserer Erklärung die unter F den unter G fallenden Gegenständen zuordnete, und demnach sind die Begriffe F und G ungleichzahlig.
§ 76. Ich will nun die Beziehung erklären, in der je zwei benachbarte Glieder der natürlichen Zahlenreihe zv einander stehen. Der Satz :
„es giebt einen Begriff F und einen unter ihn fal- lenden Gegenstand x der Art, dass die • Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, n ist, und da» die Anzahl, welche dem Begriffe „„unter F fallend aber nicht gleich x"^ zukommt, m isf* sei gleichbedeutend mit
„n folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf mJ* Ich vermeide den Ausdruck „n ist die auf m nächst- folgende Anzahl,^ weil zur Rechtfertigung des bestimmten Artikels erst zwei Sätze bewiesen werden mflssten'^, AVQ
^) Siehe Anm« auf S. 87 n, 88,.
90
demselben Grunde sage ich hier noch nicht „ n == m -f' 1 '^ ; denn auch durch das Gleichheitszeichen wird (m -}* 1) &1> Gegenstand bezeichnet
§ 77. Um nun auf die Zahl 1 zu kommen, m&ssen wir zunächst zeigen, dass es etwas giebt, was in der natttr- liehen Zahlenreihe unmittelbar auf 0 folgt.
Betrachten wir den Begriff — oder, wenn man lieber will, das Prädicat — „gleich O'' ! Unter diesen fällt die I 0. Unter den Begriff „gleich 0 aber nicht gleich 0" fällt dagegen kein Gegenstand, sodass 0 die Anzahl ist, welche diesem Begriffe zukommt. Wir haben demnach einen Be- griff „gleich 0" und einen unter ihn fallenden Gegenstand 0, von denen gilt:
die Anzahl, welche dem Begriffe „gleich O'' zukommt,
ist gleich der Anzahl, welche dem Begriffe „gleich
0" zukommt;
die Anzahl, welche dem Begriffe „gleich 0 aber
nicht gleich 0" zukommt, ist die 0. Also folgt nach unserer Erkläi*ung die Anzahl, welche dem Begriffe „gleich O'' zukommt, in der natürlichen Zahlen- reihe unmittelbar auf 0.
Wenn wir nun definiren:
1 ist die Anzahl, welche dem Begriffe „gleich 0^
zukommt, so können wir den letzten Satz so ausdrücken:
1 folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar
auf 0. Es ist vielleicht nicht überflüssig zu bemerken, dass die Definition der 1 zu ihrer objectiven Rechtmässigkeit keine beobachtete Thatsache'*') voraussetzt; denn man ver- wechselt leicht damit, dass gewisse subjective Bedingungen erfüllt sein müssen, um uns die Definition möglich zu machen, und dass uns Sinneswahinehmungen dazu veranlassen""**).
*) SaU ohne Allgemeinheit. *^) VergL B. Erdmann, die Aiiome der Geometrie S. 164.
s^-u
91
Dies kann immerhin zutreffen, ohne dass die abgeleiteten Sätze aufhören, a priori zu sein. Zu solchen Bedingungen gehört z. B. auch, dass Blut in hinreichender Fälle und richtiger Beschaffenheit das Gehirn durchströme — wenigstens soviel wir wissen ; — aber die Wahrheit unseres letzten Satzes ist davon unabhängig; sie bleibt bestehen, auch wenn dies nicht mehr stattfindet; und selbst, wenn alle Vemunft- wesen einmal gleichzeitig in einen Winterschlaf verfallen sollten, so würde sie nicht etwa so lange aufgehoben sein, sondern ganz ungestört bleiben. Die Wahrheit eines Satzes ist eben nicht sein Gedachtwerden.
§ 78. Ich lasse hier einige Sätze folgen, die mittels unserer Definitionen zu beweisen sind. Der Leser wird leicht Übersehen, wie dies geschehen kann.
1. Wenn a in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf 0 folgt, so ist a = 1.
2. Wenn 1 die Anzahl ist, welche einem Begriffe zukommt, so giebt es einen Gegenstand, der unter den Begriff fällt
3. Wenn 1 die Anzahl ist, welche einem Begriffe F zu- kommt; wenn der Gegenstand x unter den Begriff F fällt, und wenn y unter den Begriff F fällt, so ist X = y ; d. h. X ist dasselbe wie y.
4. Wenn unter einen Begriff F ein Gegenstand fällt, und wenn allgemein daraus, dass x unter den Begriff F fällt, und dass y unter den Begriff F fällt, geschlossen werden kann, dass x = y ist, so ist 1 die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt
6. Die Beziehung von m zu n, die durch den Satt:
„n folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf m** gesetzt wird, ist eine beiderseits eindeutige.
Hiermit ist noch nicht gesagt, dass es zu jeder Anzahl eine andere gebe, welche auf sie oder auf welche sie in der Zahlenreihe unmittelbar folge.
■>,.«gvi
»3
6. Jcfdef Anzahl ausser der 0 folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf eine Anzahl. § 79. Um nun beweisen zu können, dass auf jede Anzahl (n) in der natflrlichen Zahlenreihe eine Anzahl un- mittelbar folge y rouss man einen Begriff aufweisen, dem diese letzte Anzahl zukommt Wir wählen als diesen
,,der mit n endenden natürlichen Zahlenreihe ange- hörend**, der zunächst erklärt werden muss.
Ich wiederhole zunächst mit etwas andern Worten die Definition, welche ich in meiner „Begriffsschrift" vom Folgen in einer Reihe gegeben habe. Der Satz
„wenn jeder Gegenstand, zu dem x in der Beziehung ip steht, unter den Begriff F fallt, und wenn daraus, dass d unter den Begriff F fällt, allgemein, was auch d sei, folgt, dass jeder Gegenstand, zu dem d in der Beziehung ip steht, unter den Begriff F falle, so fällt 7 unter den Begriff F, was auch F für ein Begriff sein möge^ sei gleichbedeutend mit
»y folgt in der f- Reihe auf x** und mit
„X geht in der f -Reihe dem y yorher.** § 80. Einige Bemerkungen hierzu werden nicht über- flüssig sein. Da die Beziehung f unbestimmt gelassen ist, so ist die Reihe nicht nothwendig in der Form einer- räum- lichen und zeitlichen Anordnung zu denken, obwohl diese Fälle nicht ausgeschlossen sind.
Man könnte vielleicht eine andere Erklärung für natür- licher halten z. B.: wenn man von x ausgehend seine Auf- merksamkeit immer von einem Gegenstande zu einem andern lenkt, zu welchem er in der Beziehung f steht, und wenn man auf diese Weise schliesslich y erreichen kann, so sagt man y folge iu der f«- Reihe auf x.
98
Dies ist eine Weise die Sache zu untersuchen, keine Definition. Ob wir bei der Wandeiiing unserer Aufinerk- samkeit y erreichen, kann von mancherlei subjectiven Neben- umständen abbangen z. B. yon der uns zu Gebote stehenden Zeit, oder von unserer Kenntniss der Dinge. Ob y auf .z in der tp - Reihe folgt, hat im Allgemeinen gar nichts mit unserer Aufmerksamkeit und den Bedingungen ihrer Fort* bewegung zu thun, sondern ist etwas Sachliches, ebenso wie ein grttnes Blatt gewisse Lichtstrahlen reflectirt, mögen sie nun in mein Auge fallen und Empfindung henrorrufen oder nicht, ebenso wie ein Salzkorn in Wasser löslich ist, mag ich es ins Wasser werfen und den Vorgang beobachten oder nicht, und wie es selbst dann noch löslich ist, wenn ich gar nicht die Möglichkeit habe, einen Versuch damit anzustellen.
Durch meine Erklärung ist die Sache aus dem Bereiche subjectiver Möglichkeiten in das der objectiyen Bestimmtheit erhoben. In der That : dass aus gewissen Sätzen ein anderer folgt, ist etwas Objectives, yon den Gesetzen der Bewegung unserer Aufmerksamkeit Unabhängiges, und es ist dafftr einerlei, ob wir den Schluss wirklich machen oder nicht. Hier haben wir ein Merkmal, das die Frage überall ent- scheidet, wo sie gestellt werden kann, mögen wir auch im einzelnen Falle durch äussere Schwierigkeiten verhindert sein, zu beurtheilen, ob es zutrifft. Das ist fOr die Sache selbst gleichgiltig.
Wir brauchen nicht immer alle Zwischenglieder vom Anfangsgliede bis zu einem Gegenstande zu durchlaufen, um gewiss zu sein, dass er auf jenes folgt. Wenn z. B. gegeben ist, dass in der f -Reihe b auf a und c auf b folgt, so können wir nach unserer Erklärung schliessen, dass c auf a folgt, ohne die Zwischenglieder auch nur zu kennen.
Durch diese Definition des Folgens in einer Reihe wird es allein möglich, die Schlussweise von n auf (n + 1), welche scheinbar der Mathematik eigenthUmlich ist, auf die allge- meinen logischen Gesetze zurückzufahren.
^taiii
94
§ 81. Wenn wir nun als Beziehung ip diejenige haben, in welche m zu u gesetzt wird durch den Satz
„n folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf m,'' so sagen wir statt ^tp - Reihe^ „natärliche Zahlenreihe^. Ich definire weiter: der Satz »y folgt in der f - Reihe auf x oder y ist dasselbe wie x" sei gleichbedeutend mit
„y gehört der mit x anfangenden f - Reihe an^ und mit
„X gehört der mit y endenden ip - Reihe an". Demnach gehört a der mit n endenden natürlichen Zahlenreihe an, wenn n entweder in der natürlichen Zahlen- reihe auf a folgt oder gleich a ist*).
§ 82. Es ist nun zu zeigen, dass — unter einer noch anzugebenden Bedingung— die Anzahl, welche dem Begriffe „der mit n endenden natürlichen Zahlenreihe ange- hörend" zukommt, auf n in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar folgt. Und damit ist dann bewiesen, dass es eine Anzahl giebt, welche auf n in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar folgt, dass es kein letztes Glied dieser Reihe giebt. Offenbar kann dieser Satz auf empirischen Wege oder durch Induction nicht begründet werden.
Es würde hier zu weit führen, den Beweis selbst zu geben. Nur sein Gang mag kut*z angedeutet werden. Es ist zu beweisen
1. wenn a in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf d folgt, und wenn von d gilt:
*) Wenn n keine Anzahl ist, so gehurt nnr n seihst der mit n en- denden natürlichen Zahlenreihe an. Man stusse sich nicht an dem Ausdrucke ! '
9S
die Anzahl, welche dem Begriffe „der mit d endenden natürlichen Zahlenreihe ange- hörend^^ zukommt, folgt in der natürlichen Zahlenreihe un- mittelbar auf d, so gilt auch ton a:
die Anzahl, welche dem Begriffe „der mit a endenden natürlichen Zahlenreihe ange- hörend'^ zukommt, folgt in der natürlichen Zahlenreihe un- mittelbar auf a.
Es ist zweitens zu beweisen, dass von der 0 das gilt, was in den eben ausgesprochenen Sätzen von d und yon a ausgesagt ist, und dann zu folgern, dass es auch von n gilt, wenn n der mit 0 anfangenden natürlichen Zahlenreihe ange- hört. Diese Schlussweise ist eine Anwendung der Definition, die ich you dem Ausdrucke
„y folgt in der natürlichen Zahlenreihe auf x^' gegeben habe, indem man als Begriff F jene gemeinsame Aussage von d und von a, von 0 und von n zu nehmen hat. § 83. Um den Satz (1) des vorigen § zu beweisen, müssen wir zeigen, dass a die Anzahl ist, welche dem Be- griffe „der mit a endenden natürlichen Zahlenreihe ange- hörend, aber nicht gleich a'^ zukommt. Und dazu ist wieder zu beweisen, dass dieser Begriff gleichen Umfanges mit dem Begriffe „der mit d endenden natürlichen Zahlenreibe ange- hörend'^ ist. Hierfür bedarf man des Satzes, dass kein Gegenstand, welcher der mit 0 anfangenden natürlichen Zahlenreihe angehört, auf sich selbst in der natürlichen Zahlenreihe folgen kann. Dies muss ebenfalls mittels unserer Definition des Folgens in einer Reihe, wie oben angedeutet ist, bewiesen werden*).
*) £. Schröder scheint a. a. 0. S. 63 diesen Satx ala Folge einer ancb anders denkbaren Bezeichnongsweise anzusehen. Es macht sich auch hier der Uehelstand bemerkbar, der seine ganze DarsteUung dieser
WH
j a»
<• ^Jtlifc^.i
96
Wir werden hierdurch genöihigt, dem Satze, dass die Anzahl, welche dem Begriffe
„der mit n endenden natürlichen Zahlenreihe ange- hörend^' zukommt, in der natQrlichen Zahlenreihe unmittelbar auf n folgt, die Bedingung hinzuzufSgen, dass n der mit 0 an- fangenden natürlichen Zahlenreihe angehöre. HieriOr ist eine kürzere Ausdruckaweise gebräuchlich, die ich nun erkläre:
der Satz „n gehört der mit 0 anfangenden natürlichen Zahlen- reihe an*^ sei gleichbedeutend mit
„n ist eine endliche Anzabl^^ Dann können wir den letzten Satz so ausdrücken: keine endliche Anzahl folgt in der natürlichen Zahlenreihe auf sich selber.
Unendliche Anzahlen.
§ 84. Den endlichen gegenüber stehen die unendlichen Anzahlen. Die Anzahl, welche dem Begriffe „endliche An- zahl'' zukommt, ist eine unendliche. Bezeichnen wir sie etwa durch ooi ! Wäre sie eine endliche, so könnte sie nicht auf sich selber in der natürlichen Zahlenreihe folgen. Man kann aber zeigen, dass ooi das thut.
In der so erklärten unendlichen Anzahl ooi liegt nichts irgendwie Geheimnissvolles oder Wunderbares. „Die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist ooi'' heisst nun nichts mehr und nichts weniger als : es giebt eine Beziehung, welche die unter den Begriff F fallenden Gegenstände den endlichen
Sache beeinträchtigt^ daas man nicLt redt weiss, ob die Zahl ein Zeichen ist, und was dann dessen Bedeutung, oder ob sie eben diese Bedeutung ist. Daraus, dass man verschiedene Zeichen festsetzt, sodass nie dasselbe wiederkehrt, folgt noch nicht, dass diese Zeichen auch Verschiedenes bedeuten.
k. .
98
endliche Anzahlen ergiebt sich freilich doch eine Unab- hängigkeit von der Reihenfolge, dagegtu nicht für unendlich- grosse. Nun enthält der Sprachgebrauch des Wortes „Anzahl** und der Frage „wieviele?" keine Hinweisung auf eine bestimmte Anordnung. Cantors Anzahl antwortet vielmehr auf die Frage: „das wievielste Glied in der Succession ist das Endglied?" Darum scheint mir meine Benennung besser mit dem Sprachgebrauche fibereinzustimmen. Wenn man die Bedeutung eines Wortes erweiteit, so wiid man darauf zu achten haben, dass möglichst viele allgemeine Sätze ihre Geltung behalten und zumal so grundlegende, wie für die Anzahl die Unabhängigkeit von der Reihenfolge ist. Wir haben gar keine Erweiterung nöthig gehabt, weil unser Begriff der An:<ahl sofort auch unendliche Zahlen umfasst. § 80. Um seine unendlichen Anzahlen zu gewinnen, führt Cantor den Beziehungsbegriff des Polgens in einer Succession ein, der von meinem „Folgen in einer Reihe" abweicht. Nach ihm würde z. B. eine Succession entstehen, wenn mau die endlichen positiven ganzen Zahlen so anordnete, dass die unpaaren in ihrer natürlichen Reihenfolge für sich und ebenso die paaren unter sich auf einander folgten, ferner festgesetzt wäre, dass jede paare auf jede nnpaare folgen solle. In dieser Succession würde z. B. 0 auf 13 folgen. Es würde aber keine Zahl unmittelbar der 0 vorhergehen. Dies ist nun ein Fall, der in dem von mir definirten Folgen in der Reilie nicht vorkommen kann. Man kann streng be- weisen, ohne ein Axiom der Anschauung zu benutzen, dass wenn y auf x in der f -Reihe folgt, es einen Gegenstand giebt, der in dieser Reihe dem y unmittelbar vorhergeht. Mir scheinen nun genaue Definitionen des Folgens in der Succession und der cantorschen Anzahl noch zu fehlen. So beruft sich Cantor auf die etwas geheimnissvolle „innere Anschauung," wo ein Beweis aus Definitionen anzustreben und wohl auch möglich wäre. Denn ich glaube vorauszu- sehen, wie sich jene Begriffe bestimmen Hessen. Jedenfalls
99
will ich durch diese Bemerkungen; deren Berechtigung and Fruchtbarkeit durchaus nicht angreifen. Im Gegentheil be- grüsse ich in diesen Untersuchungen eine Erweiterung der Wissenschaft besonders deshalb, weil durch sie ein rein arithmetischer Weg zu höhern nnendlichgrossen Anzahlen (Mächtigkeiten) gebahnt ist.
V. Schluss.
§ 87. Ich hoffe in dieser Schrift wahrscheinlich gemacht zu haben, dass die arithmetischen Gesetze analytische Urtheile und folglich a priori sind. Demnach wQrde die Arithmetik nur eine weiter ausgebildete Logik, jeder anthmetische Satz ein logisches Gesetz, jedoch ein abgeleitetes sein. Die An- wendungen der Arithmetik zur Natuierklärung wären logische Bearbeitungen von beobachteten That Sachen*); Rechnen wäre Schlussfolgern. Die Zahlgesetze werden nicht, wie Baa- mann**) meint, eine praktische Bewähioing notbig haben, um in der Aussen weit anwendbar zu sein; denn in der Ausseuwelt, der Gesammtheit des Räumlichen, giebt es keine Begiiffe, keine Eigenschaften der Begriffe, keine Zahlen.